Занимательная музыка: Число 5 и немного о том, как «видят» музыку юзабилист и программист

    Свою работу «Комбинаторная теория музыки» инженер-программист и музыкант Эндрю Дункан начинает со слов о том, что нет профессий более далеких, чем музыкант и математик — однако, как это ни парадоксально для самих музыкантов и математиков, музыка и ее создание может служить отличным примером работы ряда математических концепций.

    В материалах из этой серии мы вспомним некоторые интересные примеры и явления, связывающие музыку, математику (в данном случае — комбинаторику) и даже историю.

    Фотография Pascal / PD

    «Волшебное» число 5


    На самом деле, «магических» чисел в музыке множество: от знакомых нам с детства «семи нот», то «волшебного числа три» в трезвучии и 12 звуков хроматической гаммы. Однако среди всех чисел, так или иначе связанных с музыкой, одно заслуживает особого внимания — это число 5 и связанная с ним пентатонная гамма.

    Интересна эта гамма в первую очередь тем, что отличается от «традиционной» западной (диатонической) семинотной версии (слово «пентатонная» происходит от греческого «пять» — по числу нот в пентатонной гамме), при этом не является усеченной версией обычной интервальной системы (просто пентатонический ряд — в отличие от диатонического — не содержит полутонов). И несмотря на то, что сейчас все привыкли к «диатонической музыке», пентатоническая музыкальная традиция, пусть она и звучит немного непривычно для современного слуха, намного старше.

    Говоря «намного», стоит иметь в виду не тысячи, а десятки тысяч лет. Именно на пентатонную гамму были настроены самые старые музыкальные инструменты в мире (обнаруженные на сегодняшний день). В 2008 году археологи проводили раскопки на юге Германии и в одной из пещер нашли флейты из кости стервятника и бивней мамонта, возраст которых составляет примерно 35-40 тысяч лет.

    То, что возраст пентатонной гаммы — настолько древний, позволяет делать предположения о том, какую роль такая музыка играла в жизни первобытных людей. Итан Хайн, профессор музыки в Государственном университете города Монтклер, США, вдохновившись фильмом Вернера Херцога Cave of forgotten dreams, в котором демонстрировались эти флейты, делает предположение о том, что пентатонная гамма и «пентатонная музыка» были для древних сакральными — хотя бы потому, что изготовление такой флейты в каменном веке было невероятно сложным и крайне трудозатратным процессом.

    Кстати, на флейте, настроенной на пентатонную гамму, можно сыграть и «диатоническую» музыку — что и делает один из палеонтологов, вооружившись современной копией древнего инструмента:


    Еще пара слов о числе 5


    Еще одно понятие в музыке, тесно связанное с числом 5 — так называемый квинтовый круг. Квинтовый круг — графическая схема, позволяющая музыкантам систематизировать знания о тональностях, «знаках при ключе» и в некоторых случаях облегчающая импровизацию и написание музыки.

    Квинтовый круг минорных и мажорных тональностей и их знаки в ключе Wiki / CC

    Впервые квинтовый круг был описан в книге «Идея грамматики мусикийской» от 1679 года русско-украинского композитора Николая Дилецкого (хотя, конечно, самая идея такой связи между тональностями существовала и раньше). Подробно о том, как (в том числе с «комбинаторной» точки зрения) строится квинтовый круг, мы уже рассказывали здесь.

    Стоит только добавить, что в рамках одной мелодии смена тональности на «соседку» по квинтовому кругу не только логична с позиции математики, но и на слух воспринимается как гармоничный музыкальный переход. При этом, как отмечает все тот же Итан Хайн, смена тональностей в рамках круга обычно зависит и от жанра — в джазе тональности сменяются против часовой стрелки, в роке — по часовой.

    Кстати, пентатонная гамма и квинтовый круг связаны — фактически, на квинтовом круге ноты пентатонной гаммы идут подряд (подробнее об этом — а также о том, как древняя пентатонная гамма может звучать в современном джазовом репертуаре — можно почитать в блоге американского саксофониста Антона Шварца).

    Как можно визуализировать ноты


    Вопрос, который мучает многих музыкантов-новичков — почему музыка записывается именно так? Здесь есть несколько объяснений, кроме того, современные исследователи не оставляют попыток придумать новую систему музыкальной нотации — более удобную для новоиспеченных музыкантов или даже ученых.

    Исторический экскурс: читаем по рукам и чертим геометрические фигуры


    Гвидонова рука. Миниатюра из мантуанской рукописи конца XV века Wiki / PD

    Исторически, одной из ранних версий нотной записи (наряду с буквенными нотациями) была так называемая Гвидонова рука, придуманная монахом бенедиктинского ордена Гвидо д’Ареццо (Guido d'Arezzo) (ок. 991 — 1033). Такая система записи помогала послушникам быстрее заучить мелодии хорала, высчитывать интервалы и определять высоту звуков и являлась основой западной музыкальной теории в течение сотен лет (подробнее о том, как «работает» Гвидонова рука, мы рассказывали здесь).

    Строго говоря, это система, позволяющая разобраться во взаимосвязи нот и интервалов в рамках гексахордов и заучить ту или иную мелодическую последовательность, — для записи классической и современной музыки она мало подходит хотя бы потому, что не дает никаких указаний относительно ритма мелодии, длительности звука (и многих других особенностей, которые принято отражать в современных музыкальных произведениях).


    Фотография Brandon Giesbrecht / PD

    Современная музыкальная нотация (или то, что большинство музыкантов привыкли использовать сейчас) гораздо подробнее и содержит множество уточняющих моментов и нюансов относительно ритма и темпа, особенностей игры, высоты звука, уровня экспрессивности и других деталей исполнения. Стоит отметить, что «современная» музыкальная нотация стала такой не сразу — по мере развития европейской музыкальной традиции она также усложнялась.

    Основная проблема современной музыкальной нотации — в ее сложности. Именно поэтому, например, многие исполнители-гитаристы не утруждают себя ее изучением, ограничиваясь табулатурами (кстати, в Европе 16-17 веков были популярны не только гитарные, но и органные и клавесинные табулатуры, и в целом этот вид нотной записи тогда составлял конкуренцию тому, что мы считаем «классическими нотами»).

    Кстати, в начале 19 века была предпринята попытка немного упростить классическую систему музыкальной нотации: вместо стандартной записи нот овалами было предложено записывать их различными геометрическими фигурами. Этот способ нотации, правда, не прижился — хотя немногочисленные исследования показывали, что читать с листа такие ноты действительно проще.

    Современные варианты: как «видят» музыку юзабилист и программист


    Однако наряду с «традиционной» нотацией современные музыканты, композиторы и даже ученые не оставляют попыток вывести новую систему схематической записи нот (и даже делают попытки составить «периодическую музыкальную систему» — по аналогии с таблицей Менделеева — но об этом чуть ниже). Например, UX-специалист и большой любитель музыки Alex Couch предложил современный вариант музыкальной нотации, удобный для новичков.

    В своей статье на medium он приводит вариант записи (и несколько музыкальных произведений, записанных таким образом), который подойдет начинающим пианистам и в особенности тем, кто хочет быстро освоить песни современных поп-исполнителей. Такая нотация (как подтверждает сам автор) не дает информации о ритме и скорости игры — для того, чтобы понять, как в действительности нужно играть произведение, автор советует обратиться к оригиналу и послушать трек в записи.

    Однако это не единственный современный вариант визуализации музыки. Так, например, уже упомянутый во вступлении к статье Эндрю Дункан задался целью посчитать, сколько существует вариаций 12-тонной хроматической гаммы и как эти вариации, а также аккорды и интервалы связаны между собой.

    Для этого он (так же, как и в случае с квинтовым кругом) решил объединить ноты в замкнутый круг из 12 элементов, в котором каждый элемент (или полутон) окрашивается черным (в случае, если он присутствует в выбранной тональности/интервале/аккорде) или белым (в противном случае) [в видео, размещенном ниже, логика окрашивания элементов прямо противоположная — как говорит сам автор, это изменение первоначальной концепции сделано для простоты восприятия].


    В итоге, как несложно догадаться, автор получил 2^12=4096 различных вариаций. Интерес здесь представляет то, какое визуальное отображение получила эта гигантская схема: на одном изображении исследователь не просто уместил все полученные варианты тональностей, интервалов и аккордов, но и окрасил их в соответствующие цвета по классам их эквивалентности (в рамках этого исследования эквивалентными считались две и больше комбинаций, строящихся по одним и тем же принципам от разных нот — например, все кварты или все мажорные трезвучия).

    По сути, на этой схеме отображена вся теория музыки или, как говорит сам автор, «музыкальная периодическая система» (в статье, посвященной этому исследованию автора, есть еще больше интересных выводов, которые позволяет сделать такая схема визуальной репрезентации).

    P.S. В следующих материалах из этой серии мы продолжим рассказывать о теории музыки, развитии музыкальных жанров и о том, как музыка связана с точными науками.

    P.P.S. Сегодня мы проводим Аудиопонедельник — большую распродажу, которая продлится только один день (пока товары имеются в наличии).
    Метки:
    Аудиомания 132,79
    Лидер рынка качественных решений для музыки и кино
    Поделиться публикацией
    Комментарии 24
    • +3
      Отличный пост, спасибо!
      • 0
        Вам спасибо, что читаете :)
      • 0
        5 = 12 — 7.
        7 нот
        из 12
        • +7
          Думаю в статье еще больше добавляется заблуждений по поводу «магических» чисел в музыке. На самом деле, как и везде в природе, магическое число одно — 2, из него все остальные выводятся, и то оно совсем не магическое. Вот, почему.

          У звука, есть обертона, 1-й — это тоника удвоение частоты, 2-й — это утроение (wiki обертона). Утроение частоты и является первым приближением квинты или числа 5. Об этом знали древние греки, которые и создали натуральный звукоряд, что по сути и является прародителем квинтового круга.

          Половина 2-го обертона и есть та самая квинта или 3/2 от частоты основного тона. Двигаясь по квинтам мы получаем наши замечательные 7 тонов. До — Соль — Ре — Ля — Ми — Си — Фа — До. Здесь обнаружилась одна загвоздка оказывается между Си — Фа — До не образуется 2 квинты, а получается — «волчья квинта». Конечно, же все озадачились этой проблемой и очень многие пытались решить эту проблему, что самое интересное, в таком контексте она нерешаема, потому что математически уравнение 2ˆx = 3ˆy. Не имеет решений в целых числах, греки закончили на первом приближении, непрерывной дроби, числе 7. Число 7 хорошо подходило и для других задач, а именно построение чистых интервалов кварта, терция, большая и малая. Но к сожалению из-за «волчьей квинты» не поддавалось транспозиции. В средние века, взяли следующее приближение число 12. Это число уменьшило погрешность «волчьей квинты» до 1%, но ухудшило все интервалы и все квинты на этот 1%, некоторые интервалы до 3-4% (центов), но люди оказались непривередливыми и им вполне хватило.
          Дело в том, что следующие приближения 37, 41, 53, просто не подходили для человеческой игры на пианино и чрезвычайно усложняли нотный стан, в общем так и живем с погрешностью. А если учесть что все инструменты изначально немного расстроены, то равномерно хроматическая темперация прижилась надолго.

          Так что, нет особых магических чисел. Есть только ряд обертонов и интервалы 3/2, 4/3, 5/4… И есть нерешаемое уравнение в целых числах 2ˆx = 3ˆy.

          • 0
            Комментарий достоен статьи
            • +1
              Ну да, тут свой взгляд прям. Было бы интересно почитать развернутый пост
              • +1
                Не свой взгляд, а единственно верный. :)

                Попробуйте проверить сами:

                Есть октава с частотами от X до 2X.

                Есть формула расчета следующей ноты: X next = X prev * 3/2, если X next получится больше 2X, то разделите на 2.

                В качестве начальной частоты возьмите 3/4 * X.

                В итоге у вас получится пифагоров строй. Ну а там дальше по ссылка внизу страницы. :)
                • 0
                  upd: опечатка, должно быть «в качестве начальной частоты возьмите 4/3 * X».
                  • 0
                    Я считал проще — струну пережать пополам — при достаточной длине получаем октаву (или несколько октав). Но это на слух. Если пережать пополам, когда уже меньше чем октава — не вслушивался.
                    Есть интересный момент — можно слегка прижимать струну в этих местах, тогда воспроизводится эффект, который в струнно-смычковых называется флажолет.
                    • +1
                      … не только смычковых- арфа, гитара, балалайка etc
              • 0

                Пардон, с музыкой не знаком, но с волнами и гармониками вполне. Можно поподробнее, что значит «из числа 2 все остальные выводятся»? В струне, понятное дело, может реализоваться множество стоячих мод, с длиной волны в две струны, в одну, в две трети, в половину, в две пятых и так далее. Ангармонизм колебаний реальной струны на высоких частотах приводит ко вполне понятному отличию частот обертонов от таковых в случае колебаний идеальной струны. В общем, не очень понятно про приближение непрерывной дроби и выводимость всех чисел из двойки. Не поделитесь ссылкой или комментарием?

                • 0
                  Тут же даже не в физике дело — достаточно синусоид и школьного курса тригонометрии:

                  sin(t) — частота ноты, sin(2t) — та же нота на октаву выше, между собой всегда звучат гармонично (собственно первая гармоника — так что все логично). Со второй гармоникой аналогично.

                  sin(t) + sin(2t), sin(t) + sin(3t), sin(2t) + sin(3t) — красивые графики получаются.

                  Отсюда и вытекает 3/2. Если частоту ноты до первой октавы умножить на 3, то получим ноту соль второй октавы, и она будет гармонично звучать как с до первой октавы, так и с до второй октавы (см. графики выше). Потом частоту ноты до делим до 2 — получаем частоту ноты соль первой октавы. Далее повторяем цикл для всех оставшихся нот. :)
                  • 0
                    upd: И снова опечатка, должно быть «потом частоту ноты соль второй октавы делим на 2»
                • 0
                  Дело в том, что следующие приближения 37, 41, 53,

                  Приближения чего вы имеете ввиду? Что это за последовательность 7,12,37,41,53?
                  • 0
                    Это приближения цепной log_2 (3/2) http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000011/st012.shtml. Некоторые числа тут лишние, но на самом деле, они тоже хорошо приближают чистые интервалы и имеют меньшие погрешности, чем 12, поэтому они рассматривались в свое время при выборе темперации.
                  • +1
                    Странный вывод. Про единственное число. С приведением в пример других чисел. Три, например, как из двух выводится? Сами же написали, что квинта получается утроением частоты. Можно ещё добавить большую терцию, которая появляется при «упятерении». Можно долго спорить, о том, откуда выводить каждую ступень в равномерно темперированном строе, но у инструментов с натуральным звукорядом, типа горна, терция берётся именно так. Через пятёрку. Можно малую септиму получить ещё, если на семь частей поделить воздушный столб получится. Я на горне не знаю, а на гитарной струне легко. И так далее, по всем простым числам. Само собой, дальше всё вряд ли представляет какую-то практическую ценность, но сводить всё к двойке у меня как-то рука не поднялась бы. Тройку оставьте хотя бы)
                    • 0
                      Ну исторически пифагорийская терция (81/64) несколько раньше все-таки стала использоваться, чем большая терция натурального строя (5/4).
                      • 0
                        С чего бы это вдруг? До Пифагора не играли терций?
                        • 0
                          Играли или нет — вопрос отдельный. Но пифагоров строй — первая попытка систематизировать звуки, и он был целиком построен на использовании отношения 3/2. Ну т.е. я пытаюсь сказать, что все ноты и интервалы диатонического звукоряда можно получить используя лишь эту дробь, и никакой магии числа 5 здесь нет — квинта всего-лишь 5-й по порядку интервал, ну так получилось.

                          <шутка>
                          А вообще, если смотреть с точки зрения программиста цепочку строев: пифагоров -> натуральный -> равномерно темперированный, то выглядит как рефакториг, который фиксит старые баги, но добавляет новые.
                          Красиво же выглядит, если, конечно, только смотреть, а не слушать:



                          </шутка>
                          • 0
                            Я так понимаю, Пифагоров строй был первой попыткой не систематизировать, а унифицировать звуковые отношения. А до Пифагора играли натуральные лады, и терция там была натуральная, и это была вполне себе система. Потом вновь обратились к натуральному, видимо из-за того, что Пифагоров строй всё равно не решал задачи непрерывного перехода и волчьих звуков. Которую решили равномерной темперацией. Про то, что квинта получается делением на 3 мне известно, равно как и про то, что никакой особой магии пятёрки в музыке не усматривается. Всё, что в статье написано по этому поводу (смотрите, пентатоника, пять! а тут квинта, о, тоже пять — магия!), выглядит, как нелепый повод начать разговор, рассчитанный на людей, слабо разбирающихся в теме. Я и не думал сколь-нибудь серьёзно это обсуждать. Но когда говорят, что «на самом деле», да ещё и «как и везде в природе» работает только двойка, мне становится страшно за природу)
                      • 0
                        Все числа одинаковы хороши! Чем меньше, тем лучше. 2 — октава, замечательный интервал, 3 — квинта прекрасный, 4 — кварта (4/3) шикарный. А октава = квинта + кварта, так это вообще отличная комбинация и т.д. большой натуральный ряд. Нельзя выделить одно число замечательное число, но! Чем меньше, тем лучше.
                        Октавы нам дали основу, квинты дали квинтовый круг, все остальные, только греки, наслаждались чистыми, а мы слушаем те, что получились от приблизительного обращения квинты. Есть настолько интересные темперации и настолько интересные подходы к определению мажора и минора, но все равно никакой магии одного числа в музыке нет.
                        • 0
                          Так и не понял, почему чем меньше, тем лучше. Я не утверждал, что существует магия одного числа. И статья, кстати, тоже. Сводя всё к двойке, мы лишаемся, например, возможности построить чистую квинту. Бред.
                          • 0
                            Сведите тогда к единице, по вашей логике. Будет вообще замечательный интервал — унисон.
                            • 0
                              Хоровое пение изначально построено на интервале унисон. Не думаю, что я с кем-то спорю, я просто выразил свое понимание процесса.

                      Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                      Самое читаемое