956,9
рейтинг
12 августа 2015 в 16:14

Открыт новый вид пятиугольников, покрывающих плоскость



В мире математики сенсация. Открыт новый вид пятиугольников, которые покрывают плоскость без разрывов и без перекрытий.

Это всего 15-й вид таких пятиугольников и первый, открытый за последние 30 лет.

Плоскость покрывается треугольниками и четырехугольниками любой формы, а вот с пятиугольниками все гораздо сложнее и интереснее. Правильные пятиугольники не могут покрыть плоскость, но некоторые неправильные пятиугольники могут. Поиск таких фигур уже сто лет является одной из самых интересных математических задач. Квест начался в 1918 году, когда математик Карл Рейнхард открыл пять первых подходящих фигур.

Долгое время считалось, что Рейнхард рассчитал все возможные формулы и больше таких пятиугольников не существует, но в 1968 году математик Р.Б.Кершнер (R. B. Kershner) нашел еще три, а Ричард Джеймс (Richard James) в 1975 году довел их число до девяти. В том же году 50-летняя американская домохозяйка и любительница математики Марджори Райс (Marjorie Rice) разработала собственный метод нотации и в течение нескольких лет открыла еще четыре пятиугольника. Наконец, в 1985 году Рольф Штайн довел число фигур до четырнадцати.

Пятиугольники остаются единственной фигурой, в отношении которой сохраняется неопределенность и загадка. В 1963 году было доказано, что существует всего три вида шестиугольников, покрывающих плоскость. Среди выпуклых семи-, восьми- и так далее -угольников таких нет. А вот с «пентагонами» пока не все ясно до конца.

До сегодняшнего дня было известно всего 14 видов таких пятиугольников. Они изображены на иллюстрации. Формулы для каждого из них приведены по ссылке.



В течение 30 лет никто не мог найти ничего нового, и вот наконец-то долгожданное открытие! Его сделала группа ученых из Вашингтонского университета: Кейси Манн (Casey Mann), Дженнифер Маклауд (Jennifer McLoud) и Дэвид вон Деро (David Von Derau). Вот как выглядит маленький красавчик.



«Мы открыли фигуру с помощью компьютерного перебора большого, но ограниченного количества вариантов, — говорит Кейси Манн. — Конечно, мы очень взволнованы и немного удивлены, что удалось открыть новый вид пятиугольника».

Открытие кажется чисто абстрактным, но на самом деле оно может найти практическое применение. Например, в производстве отделочной плитки.



Поиск новых пятиугольников, покрывающих плоскость, наверняка продолжится.
Анатолий Ализар @alizar
карма
678,3
рейтинг 956,9
Редактор
Реклама помогает поддерживать и развивать наши сервисы

Подробнее
Реклама

Самое читаемое

Комментарии (75)

  • +22
    О, новое поле для «Сапёра»!
    • +6
      Замена гексогональному игровому гриду.
      • 0
        Не совсем. В гексагональной решётке у каждой ячейки по 6 соседей, а тут у коричневых ячеек — восемь.
        • 0
          Понятно, что традиционная гексогональная арифметика работать не будет… Nav Mesh наверное заменит арифметическую координатную систему. Надо поразмыслить…
    • 0
      И ещё 14 старых.
    • 0
      Скорее для loopy: http://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/puzzles/js/loopy.html
  • +19
    Подскажите, почему не подходит такой тип пятиугольников? Вроде в перечисленных такого нет:
    image
    • +19
      есть такой, первый вид
      шестиугольник разрезанный пополам, по сути
      • 0
        Тогда и шестой вариант, который светло-фиотлетовый, туда же.
        • 0
          Не совсем так. У первого типа формула
          D + E = 180
          то-есть два прилежащих угла в сумме дают 180. У шестого типа формула
          C + E = 180, A = 2C, a = b = e, c = d
          то-есть, во-первых, сумму 180 градусов дают углы, лежащие через один, и, во-вторых, несколько других ништяков. Даже если это шестиугольник, разрезанный пополам, то разрезан он хитрее, чем в первом случае.
    • –31
      потому что он не выпуклый
    • +6
      Да, как раз первый тип с формулой «D + E = 180», что означает, что сумма двух последних углов равна 180 градусам.
  • +8
    Ну что, круто, что учёные активно работают над формой кафельной плитки.
    • +14
      Если учёные работают над тем, что сразу же можно применить на практике, разве это не показывает реальную пользу исследований?
    • +8
      На самом деле, данная информация может быть полезной, например, для проектирования матриц фотоаппаратов.
      Если кто не в курсе, большинство матриц выглядят так:
      • +2
        Предлагаете ввести пятиугольные сенсели?
        • +4
          Ну пятиугольники вряд ли, но это не значит, что это не надо исследовать.
      • +1
        Если нужно расположить сенсели равномерно, их три типа, и нет проблем сделать их многогранными — оптимальны давно нам известные гексы.
        • 0
          Кстати, именно так и располагались компоненты в «тёплых ламповых» масочных кинескопах:
          Как-то так
          image

          • +3
            У вас картинка отклеилась. Вероятно, было что-то вроде этого:

            image

            Надо сказать, расположение отверстий маски и форма триад связана с расположением электронных пушек.
            Такая «гексагональная» сетка — в случае, когда пушки треугольником стоят, дельтообразно (так, кстати, они в круглой горловине компактнее расположены).
            А вот если маска щелевая или апертурная — пушки в линию (компланарны).

            image
  • –12
    В математике всегда такие забавные сенсации?)
    • +16
      Не всегда. Есть такие, где нужно изучение темы несколько лет, что бы можно было со знанием дела разок улыбнуться.
    • +2
      Нет, иногда они выглядят так 1, 2, 3, 4 (все 4 части — это одно доказательство ABC-гипотезы, которое проверяется на корректность уже >3 лет).
      • –8
        Серьезно, а в практическом плане, что это дает? Какие применения?
        • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
          • –15
            Уважаемый, вы пожалуйста держите при себе свои предположения и советы. Если я с чем-то несогласен, то пишу прямо, а в данном случае я реально интересуюсь как человек из смежной отрасли.
            • +5
              Чисто теоретически, любое построенное замощение плоскости или пространства может оказаться структурой какого-нибудь нового материала. Стрельнет или нет — заранее неизвестно.
            • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
        • +7
          Зададите этот вопрос в 3000 году, когда на основе этой теоремы разработают новый гиперпространственный двигатель :-)
        • +2
          Что именно вы имеете в виду? ABC-гипотезу или Задачу о покрытии плоскости?
          Если первое, то её доказательство приведет к грандиозному скачку вперед в теории чисел, если второе, то как минимум нужно дорешать задачу до конца, неопределенность с пятиугольниками не позволяет закончить заниматься этой задачей.
  • +2
    Читайте «Математический цветник» Гарднера, кого заинтересовали пятиугольники.
    • +1
      Так в статье же написано — «50-летняя американская домохозяйка и любительница математики Марджори Райс».
      • +1
        Гарднер про нее писал
        • –1
          Так о том и речь. Зачем читать «Математический цветник», если ответ есть прямо в статье? Конечно, если кому интересны подробности — чем занимаются американские домохозяйки вместо работы по дому — то могут и почитать.
          • +3
            Ваше право иметь такое мнение, но не хочу, чтобы из-за вашего ехидного комментария у читателей сложилось превратное мнение о книге. Я в свое время с удовольствием ознакомился с математическими выкладками, которые приводили к получению этих прямоугольников.
            • +6
              Значит, я неправильно понял ваш комментарий. Вместо «если вас заинтересовали пятиугольники, то почитайте Гарднера» я прочитал «почитайте Гарднера — там написано, кого заинтересовали пятиугольники». А зачем его для этого читать — ведь в статье все перечислены.
              • +3
                Посмеялся, прочитав диалог вашим взглядом :) А я-то думал, что по вашему мнению, проблема пятиугольников не стоит внимания, раз только домохозяйки ей занимаются.
  • +8
    В некоторых вариантах вижу мухлёж, потому что отражение — не настоящая линейная трансформация.

    Если кому не понятно: берём плитку с красивой (одной) поверхностью заданной формы и обнаруживаем, что часть плитки надо перевернуть на «некрасивую» поверхность.
    • +3
      В найденном варианте такой же мухлеж :)
    • 0
      Почему же отражение — не лийнейная трансформация, если оно сохраняет сложение и умножение на скаляр?
      • +2
        Я уже объяснил. В отличие от поворота и сдвига, «переворот» неявно подразумевает, что обратная сторона имеет такие же свойства, что и лицевая. А пример с кафелем отлично показывает, что это предположение слишком требовательно — у кафеля обычно зад некрасивый и предназначен для прилипания, в отличие от гладенькой лицевой поверхности.

        Отражает ли мат.модель реальность или нет — вопрос второй. С бытовой точки зрения поворот и сдвиг — простые линейные операции. Переворот и масштабирование — очевидно нет, так как требуют отдельных кафелин.
  • +1
    Интересно, какой из 15 вариантов используется на фотографии с плиткой? Такого паркета на рисунках нет.
    • –1
      Я так понял на фотографии с плиткой пятиугольники двух разных типов: более острые и более тупые.
      • 0
        Скорее всего, это частный случай 5-го варианта (тёмно-фиолетового), когда ещё один угол равен 120 гр, и ещё для одной пары сторон нужно равенство. Тогда 5-угольник попадает ещё и в первый тип. Так что нового там — только нетривиальный паркет.
        • 0
          Сходил по ссылке. Это Type 3: A = C = D = 120, a = b, d = c + e
          • 0
            Это вряд ли. Здесь A=D=2*B=120, a=b=c, d=e. И ещё неизвестно, есть ли ограничения на C и E.
            • 0
              Как это так один и тот же пятиугольник может подпадать под два разных варианта?
              Если бы так могло быть, то разве не был бы один из этих двух вариантов просто частным случаем другого варианта?
              • +1
                Точно так же, как квадрат является частным случаем и прямоугольника, и ромба. При этом ни ромбы в целом не являются частными случаями прямоугольников, ни наоборот.
  • +1
    «Мы открыли фигуру с помощью компьютерного перебора большого, но ограниченного количества вариантов, — говорит Кейси Манн

    Получается сбрутфорсили?
    • +8
      Вы так говорите, как будто это что-то плохое.
  • 0
    Плитка красивая, а среди 14-ти вариантов по ссылке ее похоже нет.
    • +2
      Потому что, цитирую,

      > Это… 15-й вид таких пятиугольников…
      • 0
        Я имел в виду плитку на последней картинке в посте. 15-й вид это 1-я трехцветная картинка, как я понял, в середине 14 известных ранее вариантов и плитки с последней картинки среди них нет или она получается из одного из 14-ти вариантов, но сколько не смотрел не получается понять из какого и как.
  • +1
    Был интересный подкаст «Наука 2.0» с Валентином Крапошиным о квазикристалах пятого порядка. Там интересно о том, что пятиугольники на самом деле − это лучший способ «захватывать» пространство. Рекомендую.
    • +4
      Так вот, оказывается, чем они там в Пентагоне занимаются.
  • +4
    Шестнадцатым предлагаю пятиугольник, у которого один угол равен 180°, а остальные 4 — 90°.
    • 0
      Щито?
      • +1
        Без пояснительных рисунков, объяснений того, что из себя представляет угол в 180°, и прямого указания на то, что не надо все настолько серьезно воспринимать, видимо, посетители GT не способны оценить комментарий. Сейчас еще и выяснится, что предыдущее предложение оказалось слишком сложным для них.
        • +2
          Такой угол, емнип, называется развернутым, и тут все серьезно :)
    • 0
      Он входит в первый тип
      • 0
        Сомневаюсь. Там распиленные пополам гексагоны, у них никак четыре угла по 90° не получатся.
        • +4
          Получатся. Надо брать центрально-симметричные 6-угольники с углами 90, 90, 180, 90, 90, 180 и резать их пополам, соединяя середины сторон, углы на концах которых по 90 гр. Получится два ваших пятиугольника.
          • +1
            Хм, действительно. Ошибки случаются.
    • +4
      Под спойлером
      поясняющая картинка
  • +4
    Type 3 пятиугольники так близки к красивой симметричной форме, и из-за этого смотреть на них перфекционисту ещё больнее.
    Ну немножко выровнять углы разреза, ну!
    image
    • 0
      Да это ж соты! Просто с перекрестием внутри.
      • 0
        Ну так и в оригинале тоже соты, просто НЕРОВНЫЕ.
        • +2
          Там и первый вариант — тоже шестиугольники, только на две части разрезанные. И тоже можно было сделать более наглядно, но, видимо, целью было наоборот скрыть простоту решения. Не знаю, зачем.
          • +2
            Целью было показать наиболее общие варианты — с возможно более неправильными углами и неравными сторонами. Чтобы читатель не подумал, что, например, в 3-м варианте пятиугольники обязательно должны быть симметричными.
            • 0
              Ежели я правильно понимаю, то именно в третьем случае (а также в большинстве остальных) форму пятиугольников изменить (с сохранением замощения) никак не получится.
              • 0
                Судя по формулам, приведённым по ссылке, свобода есть во всех 14 случаях — там нет даже ни одного варианта с фиксированными углами. В третьем варианте заданы углы A,C и D, но B можно выбирать любым (E=180-B). Так что одна степень свободы есть — ориентация лучей разреза относительно шестиугольника.
                • 0
                  Ну, значится, я ошибся.
  • 0
    Возможно, пятиугольники, покрывающие плоскость, могут найти применение в картографии. Для отображения на плоскости участков поверхности Земли, Луны, Марса и т.п. Но сначала надо разметить поверхность космического объекта соответствующе трансформированными выпуклыми пятиугольниками (с несколько иными значениями углов), чтобы они покрывали выпуклую поверхность космического объекта. Вероятно, пятиугольники лучше подойдут для отражения динамики поверхности космического объекта — тектонические процессы «текут» в некоторых направлениях и вытянутое направление пятиугольника может оказаться более адекватным, чем правильный, или даже лучше чем вытянутый шестиугольник.
    • 0
      Треугольники, тем более, рекурсивно делящиеся, подойдут для этого еще лучше.
      • 0
        Согласен. Любой пятиугольник можно разделить на некоторое множество треугольников. Это множество треугольников будет фракталом треугольников в пятиугольной матрице, множество пятиугольников в свою очередь будет классом пятиугольного фрактала.

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.