Число Грэма и взгляд в бесконечность

Фрактал «Сокровища Атлантиды» (автор: Phoenix-22)

Вглядываться в бесконечность можно по-разному. Можно представлять себе всё увеличивающиеся астрономические числа и сопоставлять их с физическими явлениями. Можно всматриваться в выбранную точку фрактала Мандельброта, плавно увеличивая масштаб в 10198 раз (можно и больше, но в угоду скорости страдает наглядность). Фрактал, сколь малую часть его не бери, остаётся самоподобным и сохраняет дробную структуру.

А можно представлять себе число Грэма так, как его представляет автор статьи «Число Грэма на пальцах». Число Грэма настолько велико, что даже если вы представите себе какое-то чудовищно большое астрономическое число, а потом возведёте его в столь же чудовищную степень, а потом повторите всё это чудовищное число раз — то вы даже не стронетесь с места на шкале того пути, что ведёт к числу Грэма. Чтобы сосчитать до числа Грэма, придётся научиться считать совсем иначе, нежели мы привыкли — представляя, что путь в бесконечность лежит через дописывание нулей к известным нам астрономическим числам. В этой системе счёта загибанию пальца на руке будет соответствовать не прибавление к числу единицы или миллиона, не дописывание нуля или сотен нулей разом, но шаг от сложения к умножению, от умножения к возведению в степень и дальше в невообразимые дали.

Сразу предупреждаю, что все эти упражнения небезыздержечны — не увлекайтесь, берегите своё душевное здоровье. Однако иногда полезно всмотреться в бесконечность, чтобы понять, где ты и что ты ей, как человек, можешь противопоставить.

Для меня в своё время взгляд бесконечность, подобный описанному «на пальцах» числу Грэма, дала функция Аккермана (которую приводят как пример сложной рекурсивной функции в теории алгоритмов). Она тесно связана со стрелочной записью Кнута, используемой в статье про число Грэма.

Идея очень простая. Возьмём в качестве нулевого шага операцию увеличения на 1, инкремент. Т.е. X + 1. В качестве первого шага возьмём инкремент, повторённый Y раз. Получим X + Y, т.е. операцию сложения. В качестве второго шага возьмём сложение X с самим собой, повторённое Y раз. Получим X · Y, т.е. операцию умножения. На третьем шаге получаем операцию возведения в степень, XY. На четвёртом получаем «башенку» степеней XXX длиной Y. На пятом — «башенку башенок» (то, что автор статьи про число Грэма на пальцах, назвал «безбашней»). Ну и так далее.

Если мы возьмём натуральное (т.е. неотрицательное целое) число и применим к нему операцию порядка, равного этому числу, то у нас получится примерно функция Аккермана (на самом деле, она определяется сложнее и от трёх или двух аргументов, но не суть).

Функция Аккермана растёт очень быстро, она растёт невыразимо быстро, она растёт быстрее чего угодно, что вы можете себе представить. Уже на пятом шаге она выходит за границы Вселенной. Но чтобы досчитать до числа Грэма за обозримое число шагов, даже её недостаточно. Нужно взять функцию Аккермана «второго порядка». Т.е. функцию Аккермана от функции Аккермана от функции Аккермана — и так Y раз. Получится эдакая «башенка» функций Аккермана. Вот такая «башенка» высотой в 64 этажа как раз до числа Грэма и досчитает.

Кажется, что осознание невыразимой величины этого числа может раздавить человека. Но не спешите с выводами. Автор упомянутой статьи, пытаясь оценить подступы к этому числу, сравнивает его элементы с числом частиц во Вселенной, сравнивает высоту «башенок» с расстоянием между планетами. Но вся эта кажущаяся с виду невыразимость сводится к числу «полтора». Ладно, пусть «два с половиной».

Поясню. Считать «бесконечность» (в кавычках — ибо любое число всё же конечно) нужно не тем, сколько песчинок она в себе содержит, а тем, сколько раз количество переходит в качество, сколько в ней нетривиальных идей. Посчитаем, сколько нетривиальных идей в числе Грэма. Функция Аккермана с её порядком арифметической операции как аргументом функции — идея раз. Применение функции Аккермана к самой себе — даже на полноценную идею не тянет, так, на половинку (а ведь можно представить и функцию Аккермана третьего порядка, чтобы ещё большее число получить — но тем отчётливее вырожденность идеи). Добавим ещё, собственно, описание задачи, в рамках которой появилось число Грэма (покраска в случайную комбинацию двух цветов диагоналей многомерных гиперкубов), чтобы иметь представление, где остановиться в нашем счёте — и получим две с половиной идеи.

Вроде, с одной стороны, почти необозримая бесконечность — а с другой стороны, тривиальность. Поставьте два зеркала друг напротив друга, встаньте между ними — и вы увидите бесконечное количество всё более тускнеющих отражений. Отражений бесконечное количество, но оригинал у них один — отражаетесь лишь вы сами.

Если в каком-то явлении вы замечаете, что с какого-то момента начинают повторяться лишь ухудшающиеся (в лучшем случае, такие же) копии того, что уже было раньше — то это дурная бесконечность, ложная. Движение по её шкале — лишь видимость жизни, но по сути это западня для вашего сознания.

Например, знакомитесь вы с каким-то произведением — книгой, фильмом, видеоигрой — и замечаете, что с какого-то момента произведение начинает повторять само себя. Пожалуй, больше всего этим грешат видеоигры — бесконечные квесты «убей столько-то таких-то монстров», «принеси то-то туда-то», экспоненциально растущая стоимость всё более вычурного оружия и доспехов для борьбы со всё более живучими врагами, дающими всё больше игровых денег. Если повторение перестало раскрывать исходную идею и стало самоцелью, то оставьте это произведение — оно свалилось в дурную бесконечность и лишь утянет вас от истинного пути.

Или вот был хороший оригинал — и сделали ему сиквел, приквел или ответвление сюжета. Чем наполнить? Известно чем — взять всё то же, что в оригинале, но в бОльших количествах и иначе скомбинированное. Была одна идея, стало полторы. Этих сиквелов можно теперь бесконечное число делать, зарабатывая деньги на тех, кому полюбился оригинал. И опять перед нами дурная бесконечность.

Вообще, возьми любой жанр — и большую часть его составят повторения, ухудшенные копии родоначальника жанра. Если вы чувствуете, что задыхаетесь в засилье этих похожих друг на друга отражений — плывите против течения, ищите источник отражений. Лишь так вы сможете в лабиринте дурной бесконечности отыскать истинный путь.
Метки:
Поделиться публикацией
Реклама помогает поддерживать и развивать наши сервисы

Подробнее
Реклама
Комментарии 68
  • –1
    Рок'н'ролл умер вместе с Элвисом.
    • +3
      Битлы смотрят на вас с недоумением
      • +4
        Элвис не умер, он улетел домой!
        • –2
          Рок-н-Ролл умер с рождением Бибера.
          • 0
            Вообще-то я имел ввиду «возьми любой жанр — и большую часть его составят повторения, ухудшенные копии родоначальника жанра»
            • +1
              Ухудшенные — это субъективная оценка

              А в копиях нет ничего плохого. Ваши Гены есть копия копий в степени n. Сам рок-н-ролл есть ускоренная копия блюза.
              • +1
                Копии даже хороши — если они помогают раскрытию какой-то идеи.
                • 0
                  Есть такая новейшая философия. — Согласно ей, «Всё есть копия копии.» (С)

                  Абсолютно всё!
                  • 0
                    Если вы про постмодернизм, то эта одержимость копиями до добра не доведёт.

                    Вообще же, методологически, если говорится, что некая категория (например, «копия») всеобщна, то она исчезает. А если категория в рассуждениях почему-то не исчезает — то ищите подвох. В случае постмодернизма подвох в том, что он паразитирует на оригиналах, созданных до постмодернизма.
                    • 0
                      >В случае постмодернизма подвох в том, что он паразитирует на оригиналах, созданных до постмодернизма.

                      Вряд ли паразитирует. Просто он утверждает что оригиналов нет и никогда не было — ибо «Всё есть копия копии.» (С)
        • +1
          Огромное спасибо за статью, очень интересно. И очень жаль, что мне не присуще подобное мышление в полной мере.
          • 0
            Немного дискретной математики, немного Гегеля и немного примеров из жизни :)
            • 0
              С чего именно из Гегеля посоветуете начать?
              • 0
                Пожалуй, я бы рекомендовал начинать освоение гуманитарной проблематики с ликбеза по отечественной и зарубежной классике. Был у меня список минимального ликбеза — из 100 позиций:

                Список из 100 произведений отечественной и зарубежной классики
                1. Гомер. «Илиада»
                2. Гомер. «Одиссея»
                3. Беовульф
                4. Старшая Эдда
                5. Песнь о нибелунгах
                6. Песнь о Роланде
                7. Песнь о Сиде
                8. Роман о Тристане и Изольде
                9. Данте. «Божественная комедия»
                10. Боккачо. «Декамерон»
                11. Шекспир. Сонеты
                12. Шекспир. «Гамлет, принц датский»
                13. Шекспир. «Ромео и Джульетта»
                14. Шекспир. «Король Лир»
                15. Шекспир. «Макбет»
                16. Шекспир. «Отелло»
                17. Сервантес. «Дон Кихот»
                18. Мольер. «Тартюф»
                19. Мольер. «Мещанин во дворянстве»
                20. Гёте. «Фауст»
                21. Дефо. «Робинзон Крузо»
                22. Свифт. «Путешествия Гулливера»
                23. Шиллер. «Дон Карлос, инфант испанский»
                24. Шиллер. «Коварство и любовь»
                25. Шиллер. «Разбойники»
                26. Шиллер. «Вильгельм Телль»
                27. Байрон. «Паломничество Чайльд Гарольда»
                28. Бальзак. «Утраченные иллюзии»
                29. Бальзак. «Шагреневая кожа»
                30. Гейне. Стихотворения.
                31. Гюго. «Девяносто третий год»
                32. Гюго. «Собор Парижской Богоматери»
                33. Диккенс. «Приключения Оливера Твиста»
                34. Золя. «Жерминаль»
                35. Ибсен. «Пер Гюнт»
                36. Шарль де Костер. «Легенда о Тилле Уленшпигеле»
                37. Купер. «Последний из могикан»
                38. Вальтер Скотт. «Айвенго»
                39. Мериме. «Хроника царствования Карла IX»
                40. Стендаль. «Красное и черное»
                41. Марк Твен. «Приключения Тома Сойера», «Приключения Гекльберри Финна»
                42. Оскар Уайльд. «Портрет Дориана Грея»
                43. Эдгар По. «Золотой жук» и др. рассказы.
                44. Киплинг. «Ким»
                45. Лонгфелло. «Песнь о Гайавате»
                46. Уолт Уитмен. Стихотворения и поэмы
                47. Флобер. «Госпожа Бовари»
                48. Луи Арагон. Стихотворения
                49. Анри Барбюс. «Огонь»
                50. Бертольт Брехт. Пьесы
                51. Джон Голсуорси. «Сага о Форсайтах»
                52. Теодор Драйзер. «Американская трагедия»
                53. Джек Лондон. «Мартин Иден»
                54. Джек Лондон. «Морской волк»
                55. Томас Манн. «Волшебная гора»
                56. Томас Манн. «Иосиф и его братья»
                57. Герберт Уэллс. «Человек-невидимка», «Война миров»
                58. Уильям Фолкнер. Если читали, то что именно?
                59. Эрнест Хемингуэй. «Прощай, оружие!», «По ком звонит колокол»
                59. Ремарк. «На западном фронте без перемен»
                60. Джером Сэлинджер. «Над пропастью во ржи»
                61. Генрих Бёлль. «Бильярд в половине десятого»
                62. Герман Гессе. «Игра в бисер»
                63. Маркес. «Сто лет одиночества»
                64. Пушкин. «Повести Белкина»
                65. Пушкин. «Медный всадник»
                66. Пушкин. «Борис Годунов»
                67. Лермонтов. «Демон»
                68. Лермонтов. «Герой нашего времени»
                69. Гоголь. «Мертвые души»
                70. Гоголь. «Ревизор»
                71. Гоголь. «Вечера на хуторе близ Диканьки»
                72. Грибоедов. «Горе от ума»
                73. Достоевский. «Братья Карамазовы»
                74. Достоевский. «Идиот»
                75. Достоевский. «Бесы»
                76. Достоевский. «Преступление и наказание»
                77. Лесков. «Леди Макбет Мценского уезда», «Очарованный странник»
                78. Некрасов. «Кому на Руси жить хорошо?», стихотворения
                79. Салтыков-Щедрин. «Господа Головлевы», «История одного города»
                80. Лев Толстой. «Война и мир»
                81. Лев Толстой. «Анна Каренина»
                82. Лев Толстой. «Воскресение»
                83. Тургенев. «Накануне»
                84. Тургенев. «Отцы и дети»
                85. Чернышевский. «Что делать?»
                86. Чехов. «Вишневый сад»
                87. Чехов. «Крыжовник», «О любви», «Ионыч», «Дама с собачкой»
                88. Иван Бунин. Рассказы.
                89. Горький. «Мать»
                90. Горький. «Жизнь Клима Самгина»
                91. Горький. «На дне»
                92. Блок. «Двенадцать»
                93. Блок. «Скифы»
                94. Есенин. Стихотворения
                95. Маяковский. Стихотворения
                96. Алексей Толстой. «Хождение по мукам»
                97. Куприн. «Яма»
                98. Куприн. «Гранатовый браслет»
                99. Андрей Платонов. Рассказы
                100. Шолохов. «Тихий Дон»
          • +2
            В противовес последнему абзацу советую прочесть: Д. Хофштадтер — «Гёдель, Эшер, Бах». Там очень обстоятельно написано про повторения, рекурсию и автореференцию.
            • 0
              Бесконечно философично.
              А Вы нашли в лабиринте дурной бесконечности истинный путь?
              Конечно наверно у каждого свой, но все же.
              • 0
                Конечно наверно у каждого свой, но все же.
                Не, в рамках написанного «истинный путь» у всех один.
                Если вы чувствуете, что задыхаетесь в засилье этих похожих друг на друга отражений — плывите против течения, ищите источник отражений. Лишь так вы сможете в лабиринте дурной бесконечности отыскать истинный путь.
                «Истинный путь» — доплыть по «лабиринту дурной бесконечности» отражений-копий до источника-оригинала, который в лучшем случае будет чуть более лучшей копией этих отражений (оригинал — копия своих копий).

                P.S. «Истинный путь в лабиринте бесконечности», «Бесконечно философично». Ух, прям вечер поэзии на GT, а я, пардон, без бабочки :)
                • 0
                  Копия и оригинал имеют только одну сторону подобия, но качественно разный уровень. Ведь человек не идентичен своему отражению во всех аспектах, а только в визуальном восприятии. Может коряво выразился, но надеюсь мысль ясна.
              • –1
                Согласно правилам (https://geektimes.ru/info/help/rules), цитирую: «Geektimes — не место для копипастеров.»; «Geektimes — не ЖЖ и не центр мирового кросспостинга.».
                Но всё равно, что ж вы ссылку на источник (http://unv.livejournal.com/130898.html) не дали?
                • 0
                  Пост же через песочницу публиковался — я посчитал, что ссылаться на свой ЖЖ вопреки правилам для первого поста может быть чревато.
                • 0
                  Так а число-то какое для функции брать? Это почему-то все опускают. В ссылке брали тройку. А если бы взяли девятку — число итераций было бы куда меньше. От выбора основания очень сильно зависит «крутизна» экспоненты.
                  • 0
                    Ну там в каком-то смысле всё равно, какое брать. Ведь вся суть в чудовищном уровне вложенности рекурсии.
                    Не всё равно лишь самому Грэму, который оценивал решение конкретной задачи.
                    • 0
                      Кхм…
                      «Если мы возьмём натуральное (т.е. неотрицательное целое) число и применим к нему операцию порядка, равного этому числу»
                      Есть разница — берём ли мы двойку или миллиард?
                      • 0
                        Разница есть, но поймите меня правильно — если говорится о почти невообразимой вложенности рекурсии, то даже миллиард не сделает погоды. Ну вычтем мы из почти бесконечности пару десятков — и останется та же почти бесконечность.
                    • 0
                      От основания (первого числа) мало зависит, второе влияет немного больше, но количество стрелок всё равно перевешивает. Надо только чтобы второе число было хотя бы 3, т.к. двойка по сути не меняет уровень.

                      A = 3↑3 = 27
                      B = 3↑↑3 = 3↑27 = 7625597484987 > 11↑11
                      C = 3↑↑↑3 = 3↑↑B > 7625597484960↑↑7625597484960 = (B-A)↑↑(B-A)
                      • 0
                        А если учитывать, что количество стрелок на 64-м уровне не просто астрономическое, но почти невообразимое, то нам уже становится более-менее всё равно, какие именно числа стоят в начале и в конце — всё решает именно количество стрелок, т.е. вложенность рекурсии.
                        • 0
                          А как-то можно оценить количество уровней, если за основу брать не число 3, а скажем 4? Насколько меньше уровней нужно будет взять, чтобы сравниться с числом Грэма? 63 или 63,9999999...?
                          • 0
                            По индукции.
                            3+3 = 6, 4+4 = 8, разница = 2.
                            3*3 = 9, 4*4 = 16, разница = 7.
                            3^3 = 27, 4^4 = 256, разница = 229 или в 9 с небольшим раз.
                            3^3^3 = 7625597484987 (7,6 * 10^12), 4^4^4^4 — на калькуляторе уже не расчитывается.

                            Т.е. чем выше порядок рекурсии, тем больше влияние исходных цифр. Т.е. уровней нужно будет сильно меньше. Но уполовинь число уровней, вычисли корень из них, возьми от них логарифм — их всё равно обычными средствами не посчитать.
                            • 0
                              Уровней будет столько же.
                              Каждый следующий уровень существенно больше предыдущего практически независимо от конкретных чисел. Т.е. разные уровни, конечно, можно сравнять, даже первый уровень простирается до бесконечности, но для равенства в меньшем уровне надо взять числа сами типа числа Грэма.
                              4^4^4^4 = 4↑↑4 хоть и сильно больше, чем 3↑↑3, тем не менее гораздо меньше, чем 3↑↑↑3.
                              • 0
                                Да, пожалуй. Это виднее на примере более различающихся чисел. Например, возьмём 3 и 9 (т.е. 32 — заранее обгоним на пару итераций):
                                3+3 = 6, 9+9 = 18, 9-ка обгоняет 3-ку в следующей итерации.
                                3*3 = 9, 9*9 = 81, 9-ка снова обгоняет 3-ку в следующей итерации.
                                3^3 = 27, 9^9 = 387420489 (3,9 * 108), 9-ка уже не догоняет 3-ку в следующей итерации.
                                3^3^3 = 7625597484987 (7,6 * 1012), 9^9^9^9^9^9^9^9^9 — невычислимо.

                                Т.е. количество итераций действительно важнее значения аргументов.
                    • 0
                      Не очень давно было видео на канале Numberphile о числе Грэма. С самим Грэмом. www.youtube.com/watch?v=GuigptwlVHo
                      • 0
                        А что, если более дурным вкусом окажется отказ от осмысления связей между теряющими смысл ограниченностями из полутора?
                        • 0
                          Осмыслять можно многое. Но даже если мы скажем, что цель науки в поиске истины, то следует себя ограничивать осмыслением чего-то важного — ведь жизнь коротка. А если принять, что цель науки не просто в поиске абстрактной истины, а в спасении человечества, то ограничивать себя стоит ещё сильнее.
                        • 0
                          По мне так считать такие субъективные величины, как идеи занятие в принципе мало имеющее отношение к математике. Для этого нужно хотя бы формализовать идею, как сущность, к которой применимы счетные действия без двоякого толкования.
                          • 0
                            Тут есть определённая фундаментальная сложность. Даже на формализацию чисто математических идей наложено ограничение (см. теорему Гёделя о неполноте).

                            Если же мы обратимся к гуманитарной проблематике как таковой, то окажется, что там нужен другой подход.

                            Естественные науки строятся на субъект-объектной парадигме. Cубъект, исследователь, познаёт исследуемый объект в силу того, что субъектом является сверхсложная система — человек, а объект, будь то электрон, амёба или даже крыса, принципиально менее сложна. Соответственно, исследуемый объект не догадывается ни о том, что его исследуют, ни о сути процедуры исследования — и даже если в познании есть трудности, то они временные.

                            В случае гуманитарной проблематики мы получаем исследование одной сверхсложной системы другой сверхсложной системой. А это уже принципиально иной тип отношений — субъект-субъектный. Тут как бы происходит фазовый переход — ввиду смены отношения сложности исследователя и исследуемого. Например, если исследуешь человека, то человек может понять, что его исследуют, и исходя из этого обмануть исследователя, начать исследовать в ответ, напасть на него. Это уже отношения равных и формализовать равное тебе нельзя — для этого надо либо самому стать выше на лестнице сложности, либо снизить сложность исследуемого.

                            Потому если даже в математике нельзя полностью избавиться от субъективности, то в гуманитарных исследованиях (к которым определённо относится исследование нетривиальных идей) субъективность есть данность.

                            Это подобно тому, как при переходе от ламинарного течения к турбулентному резко падают наши возможности по математическому предсказанию происходящего. Но не потому, что мы недостаточно пытаемся, а исходя из неких фундаментальных свойств нашего мира — который отнюдь не столь детерминистичен, как полагал Ньютон и другие титаны буржуазного Просвещения.
                            • 0
                              Психологи вполне справляются с подобной задачей. Есть даже целый класс методик, которые легко обходят данную проблему, их называют «проективные». Примером проективных методик являются «Тематический апперцептивный тест», «Человек под дождем», «Дом, человек, дерево». Искажения в тестовой выборке (всегда есть те, кто мог неправильно понять инструкцию или намеренно отвечать наобум в тесте) снимаются за счет статистики. Такой человек на графике будет представлять выброс и его лучше исключить из выборки. Многие тесты имеют свои степени защиты. Например в MMPI есть 3 шкалы, отвечающие за достоверность ответов.

                              Так что человек вполне изучаем. Разгребать механизмы психики начали с физиологических основ в начале ХХ века. Это дало отправную базу, потом определяли основные процессы и компоненты. В итоге опять все вернулось к физиологии ВНД, но на качественно более высоком уровне. Уже с пониманием основных механизмов формирования долговременной памяти, оперативной, перцептивных искажений…

                              Ой, что-то меня понесло, извините.
                              • 0
                                Все ухищрения психологии в низведении изучаемых до состояния объектов. В каких-то случаях это удаётся, в каких-то нет.
                                • 0
                                  Как-то обосновать свою позицию или привести примеры можете?
                                  • 0
                                    По-моему, тут всё достаточно очевидно. Если смог свести исследование человека или человеческого сообщества к естественнонаучной субъект-объектной парадигме, значит, низвёл исследуемого до состояния объекта.

                                    В случае психологических исследований в качестве исследуемых набирают студентов (т.е. заведомо менее компетентных в данной области, нежели исследователи). Платят им какие-то деньги (чтобы было меньше стимулов играть в психологические игры с исследователем). Тщательно скрывают методику исследования. Объединяют исследуемых в группы, члены которых не общаются между собой. Сравнивают с контрольными группами. И т.п. — всё это минимизирует эффекты того, что исследуешь человека.

                                    Но так сравнительно легко можно исследовать лишь людей не слишком компетентных и не слишком заинтересованных в результатах исследований. Исследование сразу усложняется, если мы переходим к какому-нибудь тестированию на полиграфе.

                                    Ещё сложнее исследовать правонарушения и искать правонарушителей. Не зря детективы стали популярным литературным жанром.

                                    Сверхсложным занятием является исследование нетранспарентных политических групп. Если без дураков исследовать, собирая и анализируя высказывания по открытым источникам, действия, контексты и т.п. — а не конспироложеством заниматься.
                                    • 0
                                      Все что я могу сказать: ваше представление идет в разрез с этикой научного исследования и не имеет отношения к научно-исследовательской деятельности.
                                      • 0
                                        Ну так я с самого начала и говорю вам, что исследование субъект-субъектных отношений принципиально отличается от естественнонаучной проблематики, где используется субъект-объектная парадигма. Потому гуманитарные науки действительно сложно назвать вполне науками.

                                        Но причина этого в отношении сложности исследователя и исследуемого как двух систем.
                          • +1
                            «Натуральное» и «Неотрицательное целое» — это не одно и то же
                            • 0
                              Это как? Или вы про дискуссию с нулём?
                              • 0
                                Это как договориться.
                                • 0
                                  Согласен. Тут всё же неотрицательное целое, поскольку ноль определён — для инкремента.
                                • 0
                                  Почему то, после подсчитывания количества идей в функции, ожидал что дальше будет описание как построить функцию скажем с пятью идеями по сравнению с которой даже функция аккермана, порядка функции аккермана будет недостойной упоминания, а закончилось почему то осуждением нехватки идей в сиквелах.
                                  • 0
                                    Попробуйте :)
                                    • 0
                                      Ну в принципе можно сделать самоподдерживающуюся рекурсию. То есть берем функцию Аккермана, применяем её к какому-то числу число Грэма раз, получаем новую функцию. Затем уже её применяем рекурсивно сколько раз, сколько получилось на предыдущем этапе. Потом получаем так же третью, четвертую… номер число Грэма функцию, применяем её к числу Грэма и получаем Х. Затем то, что мы сделали до этого повторяем Х раз, получаем У и новую функцию. Затем всё снова делаем, причем это снова включает и количество подходов. Затем продолжаем увеличивать количество уровней рекурсии на каждом шаге…

                                      И в конце получаем новую функцию с количеством уровней абстракции… И все повторяем уже с ней.

                                      Вообще видел где-то критерий описания для числа — длина записи минимального алгоритма, который однозначно его определяет. В алгоритм можно добавить основные арифметические операции и операции рекурсии и цикла, и определение новых функций. Число Грэма будет достаточно компактным.
                                      • 0
                                        Ну это всё та же самая идея — наращивания уровня рекурсии. В её повторении нет новизны.

                                        А ведь изначальная идея функции Аккермана интересна сразу в нескольких аспектах:
                                        * Она связывает в единую логическую цепочку известные до этого операции сложения, умножения, возведения в степень (а это само по себе очень полезно)
                                        * Она даёт механизм наращивания сложности операции — через рост вложенности рекурсии
                                        * Она растёт быстрее всех «обычных» функций, о которых рассказывают в школе и в ВУЗе и даёт понимание, что бесконечность гораздо дальше, нежели астрономические числа

                                        Если мы прикладываем рекурсию к функции Аккермана, то мы, по сути, ничего нового не привносим. Ничего интересного не добавляется, никаких закономерностей мироздания не вскрывается, никакое имеющееся знание не упорядочивается.

                                        Т.е. чтобы добавить сюда действительно новую идею и вновь ужаснуться, насколько мы были далеко от бесконечности со своей функцией Аккермана, нам недостаточно просто наращивать уровни рекурсии.

                                        Нам уж тогда нужна будет какая-то гиперрекурсия, которая ведёт себя совсем иначе — чтобы нащупать тут новизну. Или наоборот, что-то совсем иное. Но это не так-то просто выдумать. Размножать функции Аккермана проще. Ну так я и говорю в статье, что дурная бесконечность повторения одной идеи есть простой путь, но не ведущий к истине.
                                        • 0
                                          Ну я пытался что-то вроде гиперрекурсии сделать, на основании подхода к трансфинитным числам, увеличивая постоянно вложенность рекурсии на более высоком, чем число Грэма уровне. Все большие числа за счёт вложенности операций и рекурсии и возникли.

                                          Принципиально другой подход видел. Для натурального числа n определим значение функции, как минимальное число, которое больше любого числа, которое можно вычислить (в каком-то смысле записать) с помощью алгоритма длиной не более n. Так как алгоритмов конечное число, то функция определена однозначно (и возможно невычислима). Так как все конструкции типа числа Грэма, функции Аккремана и т.п. можно записать компактно, то эта функция с какого-то момента будет расти ОЧЕНЬ быстро, и представить степень роста будет очень сложно.

                                          Вроде у неё есть название, но найти сейчас не могу.
                                  • 0
                                    Изображение красивое. Откуда-то взято или чем-то сгенерированное?
                                    • 0
                                      А оно со ссылкой — Фрактал «Сокровища Атлантиды» (автор: Phoenix-22).
                                      • 0
                                        Благодарю. Не заметил.
                                    • 0
                                      Не$#! й абстрактные числа считать, единственное практическое применение это ох#@! ть от размера числа и биться в экстазе
                                      • 0
                                        Ну так нужно же не только вводить в экстаз (с чем отлично справляется упомянутая статья «Число Грэма на пальцах»), но и выводить из него :)
                                        • 0
                                          Почему же, мы знаем примеры, когда абстрактные математические понятия находили применение в физике, хотя долгое время считалось, что этого не будет.
                                          • 0
                                            >мы знаем примеры, когда абстрактные математические понятия находили применение в физике

                                            Это редкость. Имхо.

                                            Физикам «Теории струн» пришлось фактически создать всю новую математику.
                                            • 0
                                              На сегодняшний день значимые продвижения и есть редкость. Конечно, на эту тему много взглядов, но я считаю, что теоретики должны развивать свои теории без оглядки, чтоб практики могли выбирать.
                                              • 0
                                                > но я считаю, что теоретики должны развивать свои теории без оглядки, чтоб практики могли выбирать.

                                                Не нужно это практикам. Да и нет никакой вероятности что потребуются.
                                                А если потребуются, то тогда можно и развить — как это и происходит в математики «Теории струн» — не жду они там у моря погоды.

                                                Имхо.
                                        • 0
                                          >Считать «бесконечность» (в кавычках — ибо любое число всё же конечно)

                                          Хм, а просто принять, что есть такое число «бесконечность»?
                                          • 0
                                            Это вы как-то слишком просто решили с бесконечностью расправиться :)

                                            Ну вот возьмём техническую бесконечность — в формате double максимально представимое число — это 1.7976931348623157 × 10308. Всё, что больше, считается плюс бесконечностью.

                                            Вот вы назовёте плюс бесконечностью число Грэма — а сравнимо ли оно с 10308? Ведь оно несравнимо больше.
                                            • 0
                                              >Это вы как-то слишком просто решили с бесконечностью расправиться

                                              А чего там! ;-)

                                              Бесконечность – это такое число, больше которого просто нет.
                                              • 0
                                                Если это число, то к нему можно прибавить единицу — и будет число, на единицу большее ;)
                                                • 0
                                                  >Если это число, то к нему можно прибавить единицу — и будет число, на единицу большее ;)

                                                  Нет. Мы определим его как «число, больше которого просто нет»

                                                  И определим его так математически корректно, чтобы вы не смогли и помыслить такого как “то к нему можно прибавить единицу — и будет число, на единицу большее»

                                                  Ну, а обратное ему будет — «бесконечно малое число» — число, меньше которого нет.

                                                  Ведь, по сути, что есть число? — «не более чем знак» (С)
                                                  • 0
                                                    > Нет. Мы определим его как «число, больше которого просто нет»

                                                    Не все так просто.

                                                    Расширения множеств добавлением бесконечности или аналогичного элемента вполне себе успешно применяются в математике давным-давно (например, погуглите, что такое сфера Римана и как она связана с комплексной плоскостью), но речи о числах вообще в этом случае уже не идет, речь идет о множествах элементов. Если мы дополним множество натуральных чисел бесконечностью и как-то определим правила работы с ней, оно перестанет быть множеством натуральных чисел, это будет совершенно другой математический объект, и сама бесконечность в этом случае числом не является.

                                                    А если говорить о бесконечности как о «числе всех чисел», то такие объекты тоже давным-давно придуманы, имя им кардиналы, и неожиданно с ними тоже можно обращаться как с числами, только вот арифметика этих «чисел» принципиально другая. Да, бесконечности бывают разные и их много. :) А еще есть ординалы (но их вообще числами называть затруднительно, скорее характеристиками множеств), гиперреальные числа (которые определены практически как в вашем определении бесконечности) и прочие расширения числовых систем, но это экзотика.
                                                    • –1
                                                      >но это экзотика.

                                                      Да, похоже что там целый пантеон бесконечностей. :-)

                                                      Но когда вы написали: Если это число, то к нему можно прибавить единицу — и будет число, на единицу большее ;)
                                                      Это как про Бесконечно Всесильного и Бесконечно Всемогущего Бога сказать — Сможет ли он создать такой камень что сам не поднимет?

                                                      А ведь если ввести Бога в математику, то и вопросов таких как «Если это число, то к нему можно прибавить единицу — и будет число, на единицу большее » не возникнет. — Не так ли?

                                                      Ведь это «число, больше которого просто нет» в 30-е годы прошлого века просто ИЗГНАЛИ из математики — ЗАПРЕТИЛИ к использованию. — Хм, тогда в СССР Бога изгоняли из храмов (совпадение?).

                                                      А ведь есть ЧИСЛА, для которых вовсе НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ эта аксиома:

                                                      «Если имеются две величины, a и b, и a меньше b, то, взяв a слагаемым достаточное количество раз, можно превзойти b:»
                                                  • –1
                                                    >Если это число, то к нему можно прибавить единицу — и будет число, на единицу большее ;)

                                                    Это как про Бесконечно Всесильного и Бесконечно Всемогущего Бога сказать — Сможет ли он создать такой камень что сам не поднимет?

                                                    А ведь если ввести Бога в математику, то и вопросов таких как «Если это число, то к нему можно прибавить единицу — и будет число, на единицу большее » не возникнет. — Не так ли?

                                                    Ведь это «число, больше которого просто нет» в 30-е годы прошлого века просто ИЗГНАЛИ из математики — ЗАПРЕТИЛИ к использованию. — Хм, тогда в СССР Бога изгоняли из храмов (совпадение?).

                                                    А ведь есть ЧИСЛА, для которых вовсе НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ эта аксиома:

                                                    «Если имеются две величины, a и b, и a меньше b, то, взяв a слагаемым достаточное количество раз, можно превзойти b:»
                                            • 0
                                              Читая первую половину опуса почему-то не мог отделаться от ощущения что перечитываю «Автостопом по галактике» :)

                                              Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.