5 октября 2016 в 14:58

Красота чисел. Антипростые числа


У числа 60 двенадцать делителей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Все знают об удивительных свойствах простых чисел, которые делятся только на самих себя и на единицу. Эти числа исключительно полезны. Относительно большие простые числа (примерно от 10300) используются в криптографии с открытых ключом, в хеш-таблицах, для генерации псевдослучайных чисел и т.д. Кроме огромной пользы для человеческой цивилизации, эти особенные числа поразительно красивы:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199...

Все остальные натуральные числа больше единицы, которые не являются простыми, называются составными. У них несколько делителей. Так вот, среди составных чисел выделяется особая группа чисел, которые можно назвать «суперсоставными» или «антипростыми», потому что у них особенно много делителей. Такие числа почти всегда являются избыточными (кроме 2 и 4).

Избыточными называются положительное целое число N, у которого сумма собственных делителей (кроме N) превышает N.

Например, у числа 12 сразу шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Это избыточное число, потому что

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 (16 > 12)

Неудивительно, что именно число 12 используется в огромном количестве практических областей, начиная с религии: 12 богов в греческом пантеоне и столько же в пантеоне скандинавских богов, не считая Одина, 12 учеников Христа, 12 ступеней колеса буддистской сансары, 12 имамов в исламе и т.д. Двенадцатиричная система счисления — одна из самых удобных на практике, поэтому её используют в календаре, чтобы разделить год на 12 месяцев и 4 времени года, а также чтобы разделить день и ночь на 12 часов. Сутки составляют 2 круга часовой стрелки по кругу, разделённому на 12 отрезков; кстати, количество в 60 минут тоже выбрано неспроста — это ещё одно антипростое число с большим количеством делителей.

Удобная двенадцатиричная система используется в нескольких денежных системах, в том числе в древнерусских княжествах (12 полушек = 1 алтын = 2 рязанки = 3 новгородки = 4 тверских деньги = 6 московок). Как видим, большое количество делителей является критически важным качеством в условиях, когда монеты из разных систем нужно свести к одному номиналу.

Большие избыточные числа полезны в других областях. К примеру, возьмём число 5040. Это в каком-то смысле уникальное число, вот первые из списка его делителей:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...

То есть число 5040 делится на все простые числа от 1 до 10. Другими словами, если мы возьмём группу из 5040 людей или предметов, то мы можем поделить её на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 или 10 равных групп. Это просто великолепное число. Вот полный список делителей 5040:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040

Чёрт побери, да мы можем поделить это число практически на что угодно. У него 60 делителей!

5040 — идеальное число для урбанистики, политики, социологии и т.д. На это обратил внимание ещё афинский мыслитель Платон 2300 лет назад. В своём фундаментальном труде «Законы» Платон писал, что в идеальной аристократической республике должно быть 5040 граждан, потому что такое количество граждан можно разделить на любое количество равных групп до десяти, без исключения. Соответственно, в такой системе удобно планировать управленческую и представительскую иерархию.

Конечно, это идеализм и утопия, но использование числа 5040 в самом деле исключительно удобно. Если в городе 5040 жителей, то его удобно делить на равные районы, планировать определённое количество объектов обслуживания для равного количества граждан, выбирать представительные органы на голосовании.

Такие высокосоставные, крайне избыточные числа и называются «антипростыми». Если мы хотим дать чёткое определение, то можно сказать, что антипростое число — такое положительное целое число, у которого больше делителей, чем у любого целого числа меньше его.

По такому определению, самым маленьким антипростым числом кроме единицы будет 2 (два делителя), 4 (три делителя). Далее следуют:

6 (четыре делителя), 12 (шесть делителей), 24, 36, 48, 60 (количество минут в часе), 120, 180, 240, 360 (количество градусов в круге), 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080, 15120, 20160, 25200, 27720, 45360, 50400

Именно эти числа удобно использовать в настольных играх с картами, фишками, деньгами и т.д. Например, они позволяют раздавать одинаковое количество карт, фишек, денег на разное количество игроков. По этой же причине их удобно использовать для составления классов школьников или студентов — например, чтобы разделить их на равное количество одинаковых групп для выполнения заданий. Для количества игроков в спортивной команде. Для количества команд в лиге. Для количество жителей в городе (о чём уже говорилось выше). Для административных единиц в городе, области, стране.

Как видно из примеров, многие из антипростых чисел уже де-факто используется в практических устройствах и системах счисления. Например, числа 60 и 360. Это было довольно предсказуемо, учитывая удобство наличия большого количества делителей.

О красоте антипростых чисел можно спорить. Если простые числа неоспоримо красивы, то антипростые числа, возможно, кому-то покажутся отвратительными. Но это поверхностное впечатление. Давайте посмотрим на них с другой стороны. Ведь фундаментом этих чисел являются простые числа. Именно из простых чисел, словно из строительных блоков, составлены составные числа, избыточные числа и венец творения — антипростые числа.

Основная теорема арифметики утверждает, что любое составное число можно представить как произведение нескольких простых множителей. Например,

30 = 2 × 3 × 5
550 = 2 × 52 × 11,

При этом составное число не будет делиться больше ни на какое другое простое число, кроме своих простых множителей. Антипростые числа по определению отличаются максимальным произведением степеней простых множителей, из которых они состоят.

5040 = 24 × 32 × 5 × 7

При этом их простые множители — это всегда последовательные простые числа. И степени в ряду простых множителей никогда не увеличиваются.

Так что в антипростых числах тоже есть своя особая красота.
Анатолий Ализар @alizar
карма
667,3
рейтинг 700,3
Редактор
Похожие публикации
Самое читаемое

Комментарии (67)

  • +4
    Я много раз уже думал, что основание 12 было бы намного удобнее, чем 10. Вот если бы эволюция добавила по одному пальцу на каждую руку…
    • +1
      Просто не успела :)
      https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D1%8F
      • +2
        Кликабельная ссылка: https://ru.wikipedia.org/wiki/Полидактилия
        • 0
          «но эти недостатки были исправлены операционным методом ещё в детстве» — по моему это преимущество…
          И на новую систему счисления переходить будет проще…
          • 0
            Проблема в том, что дополнительные пальцы часто не работают полноценно
            • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
              • +1
                Вообще-то нет. На практике как хроматическую гамму, так в принципе и любой пассаж, проще исполнить четырьмя пальцами. Даже годы тренировок не превращают мизинец в имбу. Эволюция берет свое. Рискну предположить, что с шестью пальцами на сегодняшний день все лишь усложнится. При этом, хочу заметить — написание произведений для 12-ти пальцев, как в «Гаттаке» — преувеличения индивидуального подхода. Под любой пассаж обычно пальцы ложатся в зависимости от обучения и сноровки пианиста, и никаких конкретных указаний нет. Исключения — аккорды, хотел бы сказать. Однако вряд ли вы не возьмете пятью пальцами то, что взяли бы шестью. Тут уже все упирается в размер кисти, и клавиш. В меньшей степени — гармония(туда-же особенности строения клавиатуры). Другими словами, если не брать во внимание джаз, модерн, и прочий артхаус — в контексте определенной гармонии выйдет скорее какофония, нежели нечто вменяемое.
    • 0
      Вы не слышали про 12-ричный счёт на пальцах? Количество пальцев тут ни при чём.
      • 0
        Очень даже при чем.
        • +2
          Да, согласен. Неправильно сформулировал. Полидактилия не при чём. Десяти пальцев достаточно, чтобы представлять два разряда 12-ричной системы.
      • 0
        Когда используют пальцы для счёта в 12-ричной системе, то считают не пальцы целиком, а их фаланги. У пальца 3 фаланги, а 4 пальца дают нам 12 фаланг, которые удобно перебирать большим пальцем этой же руки.
    • 0
      А какая должна быть анатомия, что ты использовать симметричную систему с нечетным основанием — например, 27-ричную?
      Правда, наименьшее нечетное избыточное число велико, пришлось бы учить таблице умножения до 472…
      • +1
        > А какая должна быть анатомия, что ты использовать симметричную систему с нечетным основанием — например, 27-ричную?
        А если использовать в основании отрицательные числа, комплексные, или там мнимую единицу… (под впечатлением от четвёртой главы Кнута).
        • –3
          Если ВСЕ пальцы считать, то у нас как раз можно 21-ричную систему было бы использовать. Не используется, потому что не всё человечество может ее использовать в натуральном счете…
          • 0
            Чукчи не обламываются использовать для счёта глаза, уши нос и рот
            • 0
              Ну, мы в свое время пытались научить чукчей… Огребли от них и с тех пор у нас жестко десятеричная система счисления :) Шутки-шутками, все же десять пальцев во многом определили мировое господство этой системы. В школе на факультативе по математике мы игрались с разными системами. 12-тиричная на самом деле наиболее совершенная для обычной жизни была бы. Для вычтехники это уже бинарная с вариантами в степенях — восьмиричная и шестнадцатиричная.
              Может, в будущем откроют еще что-то лучше? Когда, например, разовьют квантовое программирование до массового практического применения.
      • 0
        Не вижу трудности. Присваиваем пальцам номера от -2 до 2, и радуемся симметричной пятеричной системе.
    • +3
      Тащемта, счет дюжинами уже был, считалось по костяшкам 4х пальцев.
      Не взлетело.
      • 0
        А надо было просто 6 и 12 обозначать не загибанием очередного пальца, а загибанием руки, на которой уже пять пальцев загнуты. Видимо, руку тяжелее загибать, чем пальцы (или вот по костяшкам пальцев водить другим пальцем), поэтому и тоже не взлетело. :)
    • +2
      Послушайте, если бы было неудобно считать до 12 на пальцах, то оно бы не взлетело!

      У вас 4 пальца на руке, 3 фаланги на каждом. Большой палец — указатель. Вот вам и 12 позиций одной рукой.
      12 на правой руке и 5 на левой — счёт до 60.

      Грубым пальцем легче попадать не в фалангу, а в сгиб. Тогда 2 сгиба на пальце, 4 пальца итого 8 на одной руке и умножить на 5 на другой будет сорок. Шкурки меряли «сороками», например. Ну и иногда в фольклоре «сорок» проскакивает.

      В общем Википедия подробнее и с картинками.

      Кстати, по поводу удобства. Почему-то победила именно десятичная система. Древние греки, римляне, индийцы со своей позиционной системой базировались на 10. Хотя были ещё более древние шумеры с 12.
      Попытки перейти на 12 были, но дальше идей не пошли, переучивать числа и таблицы сложения/умножения нереально.
      • +1
        Послушайте, если бы было неудобно считать до 12 на пальцах, то оно бы не взлетело!

        Оно и правда не взлетело в итоге.

    • 0
      А представьте, как было бы удобно, если бы не 5 пальцев, а 4!
      Это насколько бы веков раньше, человечество перешло бы к цифровой технике, ведь насколько проще было бы осваивать бинарные системы счисления!
      • 0
        Мой номер телефона 32 – 08 запомнить легко – 32 зуба и 8 пальцев…
        Даниил Хармс. Совпадение?
  • +15
    Хрюндель: Ну там, короче, опрос был — сколько будет 111111 умножить на 111111. Ну я и написал на халяву 12345654321. Оказалось — правда.
    Масяня: Понимаешь, Хрюндель, твой идиотизм настолько совершенен, что резонирует с гармонией Мира.
    • –3
      123456654321
      • 0
        12345654321
        • 0
          Черт, и правда. Облажался с лишней единицей в одном из множимых. Магия! ;)
          • +4
            Всё ещё круче.

            Числовой палиндром имеет в центре ту цифру, которая говорит, сколько единиц в первом множителе.

            А количество этой цифры в палиндроме говорит, на сколько единиц второй множитель больше первого.

            11 × 11 = 121
            11 × 111 = 1221
            111 × 111 = 12321
            111 × 1111 = 123321
            111 × 111111111 = 12333333321

            Если вы умножите на себя число из 9 единиц, то получите
            111111111 × 111111111 = 12345678987654321

            Ещё из прикольного:
            11 × 11 × 11 = 1331 — палиндром,
            1331 × 11 = 14641 — и снова палиндром, дальше, правда, нарушается.

            • 0
              Изящно, не знал=)
            • 0
              1331 × 11 = 14641 — и снова палиндром, дальше, правда, нарушается.


              Из-за маленького основания системы счисления.

              В шестнадцатеричной:

              0x11 х 0x11 х 0x11 = 0x1331

              0x1331 x 0x11 = 0x14641

              0x14641 x 0x11 = 0x15AA51

              И так далее
              • 0

                Но самые красивые результаты получаются в Z[x]

              • 0
                А далее будет 0x15AA51 x 0x11 = 0x1704F61
  • +9
    Мне как-то показалось, что минимальное число, которое делится нацело на числа в диапазоне от 2 до 10 это 2520, а не в 2 раза большее его 5040, это даже по ряду заметно:
    5040 = 2^4 × 3^2 × 5 × 7
    2520 = 2^3 × 3^2 × 5 × 7
    В последнем случае через урезания ряда можно получить любое число
    2=2
    3=3
    2*2=4
    5=5
    2*3=6
    7=7
    2^3 =8
    3^2=9
    2*5=10

    Зачем лишнее умножение на 2?
    • +2
      Для красоты: 5040 = 7!
  • –3
    Эти числа исключительно полезны.

    А полезны только особенные числа из десятичных? И нет ли в этом дискриминации исчисления в иных основаниях, не десятичных?

    Особенно с учетом того, что весь вычислительный мир крутится на двоичной системе.
    • +6
      Число двенадцать будет делиться на 1, 2, 4, 6 независимо от того в какой системе оно будет записано.
      • –5
        Только в 16-ричной добавятся множители 11 и 13 переводящие 121 и пр. из особенных в составные.
        А в 8-ричной «немного» отсутствует «9» как делитель для 27, 81 и пр.
        • +8
          Свойства чисел (простое, составное) не зависят от способа их записи, хоть римскими запишите.
        • +4
          Девятка в восьмеричной системе никуда не денется — просто она там запишется как 11. 11 и 13 в шестнадцатеричной системе — это 17 и 19 в десятичной, эти числа и так простые.
          В целом, если число как-то записывается в одной системе счисления, то совсем не факт, что оно записывается точно так же в другой.
  • +3
    Не хочется быть занудным, но:
    Такие числа всегда являются избыточными.

    Избыточными называются положительное целое число N, у которого сумма собственных делителей (кроме N) превышает N.

    По такому определению, самым маленьким антипростым числом кроме единицы будет 2 (два делителя), 4 (три делителя).

    Но 2 и 4 — не избыточные (1<2, 1+2=3<4). И 6 тоже (1+2+3=6). Только начиная с 12-ти, выходит.
    • –1
      не хочется тебя расстраивать, но числа делятся еще сами на себя
      • 0
        Так вот, среди составных чисел выделяется особая группа чисел, которые можно назвать «суперсоставными» или «антипростыми», потому что у них особенно много делителей. Такие числа почти всегда являются избыточными (кроме 2 и 4).

        вы смешали два понятия, или не заметили слова почти
        • 0
          Просто автор поправился ) Что хорошо…
          • 0
            тогда я извиняюсь:)
  • +6
    Поскольку Луна делает за год относительно Земли примерно 12 оборотов — то вопрос откуда во всяких эпосах и религиях нарисовались эти 12 — возможно не только математический
    • 0
      Да и 360° — округленное число дней в году.
  • +3
    Насколько я понимаю, у Платона колличество жителей это не колличество граждан.
    • +1
      Ну откуда, откуда взялось это «коллллллллллллличество»?
      • 0
        Не знаю, лично мне там слышится двойная «л». Пишу с одной, потому что запомнил как правильно.
  • +2
    Это уже было в Симпсонах Numberphile:
    5040 and other Anti-Prime Numbers

    • 0
      Вот еще немного от этого же канала по этой же теме:


      и еще:


  • 0
    А чем столь примечательна сумма делителей?

    С детства привык, что математика, при всей кажущейся абстрактности, решает реальные инженерные проблемы. Например производная пути по времени это скорость, вторая производная — ускорение, и вот уже дифуры имеют конкретную практическую пользу.

    Понятно чем интересны простые числа — они ведут себя существенно по другому.

    Понятно чем удобны числа с большим количеством делителей, например если у N делителей больше чем sqrt(N). Легко делить кучку предметов на равные группы.

    А в чём смысл суммы делителей? А если скажем у числа сумма делителей на 3 единицы не дотягивает до N, то чем оно существенно хуже строго избыточного?
    • +2
      Придет время, и с помощью суммы делителей мы объединим теорию относительности с квантовой механикой…
  • 0
    Очень жалко, что не прижилась шестидневная неделя. Было бы очень удобно. Увы, религиозные предрассудки оказались сильней.
    • 0
      Один выходной вместо двух? Да Вы с ума сошли!
      • 0
        Или в одной меньше, если дней 365.
      • +1
        Ленин выступает перед рабочими:
        — Революция даст вам восьмичасовой рабочий день и один выходной в неделю…
        — Ура!
        — … а через некоторое время — семичасовой рабочий день и два выходных…
        — Ура!!!
        — … а чуть позже — шести, и даже пяти и четырехчасовой рабочий день и три, четыре выходных…
        — Ура!!! Все на штурм Зимнего!!!
        Ленин Дзержинскому:
        — Я же Вам говорил, Феликс Эдмундович — ни черта работать не хотят!
      • +2
        Пять выходных и один рабочий. По моему идеально.
  • 0
    >>Как видим, большое количество делителей является критически важным качеством в условиях, когда монеты из разных систем нужно свести к одному номиналу.

    Это только в случае если нет вещественной арифметики.

    Польза «антипростых» чисел притянута за уши. Нумерология сплошная.
  • +1
    >в огромном количестве практических областей, начиная с религии
    Как-то не полагал, что религия — «практическая область»; особенно в математической статье… ;)
    • +1
      Это для верующих религия не является практической областью. А вот для духовенства это способ зарабатывания денег, авторитета и других ништяков — работа не хуже любой другой.
  • 0
    А конкретно 6 и 24 не являются избыточными, поскольку принадлежат к классу совершенных чисел, чья сумма делителей равна самому числу.
    • 0
      24 — это не совершенное число.
      28 — совершенное.
  • 0
    Спасибо за материал, интересно.

    > есть число 5040 делится на все простые числа от 1 до 10

    Ну вообще-то 2520 тоже :)
    Впрочем выше это уже заметили.

    Интересно что 2520 минимальное число, делящееся на все числа 1..10, т.е. любое большее такое число (5040, 7560) будет основано на нем.
  • 0
    Удивительная теорема:
    Любое чётное число можно представить в виде суммы двух простых чисел.


    Нет даже намеков в какую сторону двигаться, в плане доказательства.

    • 0
      Потому что доказательства ни у кого пока и нет, это бинарная проблема Гольдбаха.
  • +2
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 60, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040

    Чёрт побери, да мы можем поделить это число практически на что угодно. У него 60 делителей!


    А никого не смутило, что число «60» встречается в списке 2 раза?
    Всё потому, что не упомянут делитель «70» :)

Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.