Красота чисел. Как быстро вычислять в уме


    Старинная запись на квитанции в уплате подати («ясака»). Она означает сумму 1232 руб. 24 коп. Иллюстрация из книги: Яков Перельман «Занимательная арифметика»

    Ещё Ричард Фейнман в книге «Вы конечно шутите, мистер Фейнман!» поведал несколько приёмов устного счёта. Хотя это очень простые трюки, они не всегда входят в школьную программу.

    Например, чтобы быстро возвести в квадрат число X около 50 (502 = 2500), нужно вычитать/прибавлять по сотне на каждую единицы разницы между 50 и X, а потом добавить разницу в квадрате. Описание звучит гораздо сложнее, чем реальное вычисление.

    522 = 2500 + 200 + 4
    472 = 2500 – 300 + 9
    582 = 2500 + 800 + 64

    Молодого Фейнмана научил этому трюку коллега-физик Ханс Бете, тоже работавший в то время в Лос-Аламосе над Манхэттенским проектом.

    Ханс показал ещё несколько приёмов, которые использовал для быстрых вычислений. Например, для вычисления кубических корней и возведения в степень удобно помнить таблицу логарифмов. Это знание очень упрощает сложные арифметические операции. Например, вычислить в уме примерное значение кубического корня из 2,5. Фактически, при таких вычислениях в голове у вас работает своеобразная логарифмическая линейка, в которой умножение и деление чисел заменяется сложением и вычитанием их логарифмов. Удобнейшая вещь.


    Логарифмическая линейка

    До появления компьютеров и калькуляторов логарифмическую линейку использовали повсеместно. Это своеобразный аналоговый «компьютер», позволяющий выполнить несколько математических операций, в том числе умножение и деление чисел, возведение в квадрат и куб, вычисление квадратных и кубических корней, вычисление логарифмов, потенцирование, вычисление тригонометрических и гиперболических функций и некоторые другие операции. Если разбить вычисление на три действия, то с помощью логарифмической линейки можно возводить числа в любую действительную степень и извлекать корень любой действительной степени. Точность расчётов — около 3 значащих цифр.

    Чтобы быстро проводить в уме сложные расчёты даже без логарифмической линейки, неплохо запомнить квадраты всех чисел, хотя бы до 25, просто потому что они часто используются в расчётах. И таблицу степеней — самых распространённых. Проще запомнить, чем вычислять каждый раз заново, что 54 = 625, 35 = 243, 220 = 1 048 576, а √3 ≈ 1,732.

    Ричард Фейнман совершенствовал свои навыки и постепенно замечал всё новые интересные закономерности и связи между числами. Он приводит такой пример: «Если кто-то начинал делить 1 на 1,73, можно было незамедлительно ответить, что это будет 0,577, потому что 1,73 — это число, близкое к квадратному корню из трёх. Таким образом, 1/1,73 — это около одной трети квадратного корня из 3».

    Настолько продвинутый устный счёт мог бы удивить коллег в те времена, когда не было компьютеров и калькуляторов. В те времена абсолютно все учёные умели хорошо считать в уме, поэтому для достижения мастерства требовалось достаточно глубоко погрузиться в мир цифр.

    В наше время люди достают калькулятор, чтобы просто поделить 76 на 3. Удивить окружающих стало гораздо проще. Во времена Фейнмана вместо калькулятора были деревянные счёты, на которых тоже можно было производить сложные операции, в том числе брать кубические корни. Великий физик уже тогда заметил, что использование таких инструментов, людям вообще не нужно запоминать множество арифметический комбинаций, а достаточно просто научиться правильно катать шарики. То есть люди с «расширителями» мозга не знают чисел. Они хуже справляются с задачами в «автономном» режиме.

    Вот пять очень простых советов устного счёта, которые рекомендует Яков Перельман в методичке «Быстрый счёт» 1941 года издательства.

    1. Если одно из умножаемых чисел разлагается на множители, удобно бывает последовательно умножать на них.

    225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3
    147 × 8 = 147 × 2 × 2 × 2, то есть трижды удвоить результат

    2. При умножении на 4 достаточно дважды удвоить результат. Аналогично, при делении на 4 и 8, число делится пополам дважды или трижды.

    3. При умножении на 5 или 25 число можно разделить на 2 или 4, а затем приписать к результату один или два нуля.

    74 × 5 = 37 × 10
    72 × 25 = 18 × 100

    Здесь лучше сразу оценивать, как проще. Например, 31 × 25 удобнее умножать как 25 × 31 стандартным способом, то есть как 750+25, а не как 31 × 25, то есть 7,75 × 100.

    При умножении на число, близкое к круглому (98, 103), удобно сразу умножить на круглое число (100), а затем вычесть/прибавить произведение разницы.

    37 × 98 = 3700 – 74
    37 × 104 = 3700 + 148

    4. Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (9), и приписывают 25.

    8 × 9 = 72, приписываем 25, так что 852 = 7225

    Почему действует это правило, видно из формулы:

    (10Х + 5)2 = 100Х2 + 100Х + 25 = 100Х (X+1) + 25

    Приём применяется и к десятичным дробям, которые оканчиваются на 5:

    8,52 = 72,25
    14,52 = 210,25
    0,352 = 0,1225

    5. При возведении в квадрат не забываем об удобной формуле

    (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
    442 = 1600 + 16 + 320

    Конечно же, все способы можно сочетать между собой, создавая более удобные и эффективные приёмы для конкретных ситуаций.
    Метки:
    Поделиться публикацией
    Похожие публикации
    Комментарии 26
    • –1
      Добавлю еще, для умножения на 11 двузначного числа необходимо сложить две цифры этого числа и результат поместить между ними, на пример 52*11= складываем 5+2=7 и помещаем 7 между 5 и 2, получится 572. Если сумма получится больше десяти то к числу сотен добавляем единицу 57*11 = складываем 5+7=12 к пятерке прибавляем 1 а двойку помещаем в середину, получится 627.
      • +5
        По-моему для умножения любого числа на 11 не нужно ничего выдумывать. Просто умножаем стандартным способом. X * 11 = X * 10 + X.
      • 0
        Молодого Фейнмана научил этому трюку коллега-физик Ханс Бете, тоже работавший в то время в Лос-Аламосе над Манхэттенским проектом.

        сказать честно, удивительно, что бы талантливейший Фейнман, весьма наглядно описывавший, как он воспринимает связь вещей и явлений (и тролливший студентов на тему, что они не улавливают связь между равенством нулю производной в экстремуме и горизонтальностью касательной к графику функции в точке минимума), не владел равенством из списка «формул сокращенного умножения» ДО знакомства с Бете. Подозреваю, что здесь имеется какия-то неточность в изложении фактов, хотя нельзя и исключить, что «на старуху бывает проруха», в конце концов.
        Может, речьоб особенном удобстве именно для чисел около 50 (2x превращается просто в сотню), для меня, повторюсь, такой тезис удивителен.
        • 0
          Удивительнее то, что «трюком» названа формула квадрата суммы\разности:
          (a +- b)^2 = a^2 +- 2*a*b + b^2
        • –6
          Очень интересные «трюки», но если вы считаете не для себя, то советую пользоваться калькуляторами и никого не подставлять возможными ошибками, за исключением тех случаев, когда вы уверены на 100% в результате
          • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
            • +1
              Сейчас студентов гоняют за маткад, меня гоняли за калькуляторы, папу — за логарифмичекую линейку, деда (еще до войны) — за бумажку, в моде был устный счет.
              Папе его учительница говорила, дескать, вот начнется война, а линейки под рукой не будет. А мой дедушка ходил в школу с ней ругаться, предъявлял свою линейку и кричал, что он с ней две войны прошел, и надо не детей «идиотить», а учить за вещами следить.
              Башорг =)
              • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                • 0
                  > Приходится все в уме считать.

                  А мне товарищи рассказывали, что у них там есть специальные таблички для этого, ибо в боевой обстановке как-то не до сложных расчетов.
                  • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                    • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
              • 0
                ivk4
                Поддержу.
                Мне очень нравится сценка где Фейнман «обсчитал» мастера счета на счетах — речь шла о вычислении кубического корня. Ну и Перельман в детстве был прочитан и испробован. Периодически удивляю знакомую вычисляя что-то в уме. Но. То что мы с ней вычисляем — это обычно кто-кому-за-что-сколько-должен — речь идет о мелких покупках через инет для друзей. Мои вычисления в уме она всегда перепроверяет на калькуляторе. И думается в такой ситуации это правильно. Т.е. качество результата важнее важнее всего.
                — Насчет маткада и студентов — зависит от задачи.
                Я тут читал/разбирал книжку по спектральным методам, решая примеры оттуда в Мэпле. Мне надо было понять суть, а интегрировать тригонометрию и решать ОДУ я в общем умею.
                — Также преподаватель по численным методам рассказывая какой-то метод рекомендовал нам не писать сразу программу — а посчитать на калькуляторе ручками чтобы почувствовать как сходится алгоритм.
              • 0
                Кто что вот об этом скажет?
                https://sites.google.com/site/calculatinghistory/home/irish-logarithms-1/irish-logarithms-part-2-1
                • 0
                  «сложение и деление чисел» — имелось в виду умножение и деление?
                  • 0
                    «Китайский способ умножения» по точкам пересечения линий (ABCYZ — цифры)
                    AB x YZ = A x Y ++ (A x Z + B x Y) ++ B x Z
                    ABC x YZ = A x Y ++ (A x Z + B x Y) ++ (B x Z + C x Y) ++ C x Z
                    где ++ это сложение цифр в столбик соблюдая разрядность

                    Ещё для цифр, близких к 100 работает (подсмотрел у Кондрашова А.А., комментариев нет):
                    AB x YZ = (100 — [100 — AB]) x (100 — [100 — YZ]) = (AB — [100 — YZ]) & ([100 — AB] x [100 — YZ])
                    или AB x YZ = (YZ — [100 — AB]) & ([100 — AB] x [100 — YZ])
                    где & является строковым сложением (т.е. аналогично операции «x 100 +»)
                    • 0
                      Есть признак делимости на 11.
                      Сумма цифр на четных позициях равна сумме на нечетных.
                      • 0
                        319? Видимо, надо брать сумму по модулю 11.
                      • 0
                        Могу еще порекомендовать книгу Артура Бенджамина «Магия чисел».
                        • 0
                          Как то классе в 7-8м вывел формулу преобразования XY в YX правда дальше двухзначных чисел не пошел.

                          XY: XY-(X-Y)*9 = YX
                          38: 38-(3-8)*9 = 83
                          • 0

                            XY это 10x+y, подставляем:
                            10x+y — (x-y)*9 = x + 10y.

                          • 0
                            Умножение любых чисел на 17 очень легко и удобно делается в 17-ричной системе.

                            А вообще, хотелось бы почитать про различные приколы, которые проявляются в системах исчисления, отличных от 10-ти и бинарной (с ней и так почти все понятно)

                            Например, во всех ли системах есть деление с «в периоде»?
                            Есть ли какие-нибудь интересные «константы», которые в определенных системах выглядят нормальными целыми числами?
                            • 0
                              Если речь про иррациональные числа, то они иррациональны вне зависимости от системы счисления.
                            • 0
                              Есть интересная книжка на тему статьи, как раз сейчас читаю.

                              А.Бенджамин, М.Шермер — Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы.
                              • 0
                                По словам Р. Фейнмана, он обладал цветовым восприятием цифр, что тоже ему неплохого помогало.
                                • 0
                                  Книга есть «Считать в уме как компьютер»
                                  там много приемов рассказано
                                  • 0
                                    Мне одноклассник в школе подсказал вот такой способ умножения на 2х и 3х значные числа в уме:
                                    последовательно умножаем между собой сотни, десятки и единицы чисел затем складываем их между собой и получаем результат. Например:
                                    1) 6*13 = 6*10+6*3 = 60+18 =78
                                    2) 24*33= 20*33 + 4*33 = (20*30+20*3)+(4*30+4*3)=(600+60)+(120+12)=660+132=792
                                    3) 654*18=(600*10+600*8)+(54*10+54*8)= (6000+4800)+(540+ (50*8+4*8))=10800+540+400+32=11772
                                    и т.д.
                                    Удобно в магазинах при покупках чтоб не лезть за калькулятором (поначалу жена перепроверяла на телефоне но сейчас верит). Есть недостаток — нужно постоянно держать в памяти по несколько чисел (промежуточные результаты) и для 3х и более значных чисел получается тяжеловато, хотя хорошо тренирует оперативную память и если постоянно упражняться то проблем не вызывает))

                                    Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.