18 апреля в 21:09

Когда интуиция нас подводит: о том, как одну олимпиадную задачу по физике десятилетиями решали неправильно


«Имеются два одинаковых шарика, находящихся при одной и той же температуре. Один из них лежит на горизонтальной поверхности, другой подвешен на нити. Обоим шарикам сообщают одинаковое количество теплоты. Будут ли после этого температуры шариков одинаковыми или нет? (Любыми видами тепловых потерь можно пренебречь.)»

Такую задачу иногда можно встретить на олимпиадах по физике или в соцсетях. Общепринятый ответ интуитивно понятен: из-за затрат энергии на тепловое расширение при наличии силы тяжести шарик, лежащий на горизонтальной поверхности, окажется холоднее висящего на нити. В недавней статье было показано, что этот ответ неправильный. На самом деле, результат будет обратным: лежащий шарик окажется теплее висящего. Разберемся, почему традиционный метод решения этой задачи приводит к неправильному ответу, и почему интуиция в этом случае нас подводит.

Традиционное решение и его проблема


Традиционное решение основано на следующей цепочке рассуждений. Оба шарика при нагреве будут расширяться, из-за этого у шарика, лежащего на горизонтальной поверхности, центр масс немного поднимется, а у висящего шарика центр масс опустится. В результате лежащий шарик нагреется слабее, поскольку часть переданной ему теплоты будет затрачена на его подъем, а висящий шарик нагреется сильнее за счет дополнительной работы силы тяжести при его опускании.


Рассуждения, используемые при традиционном решении: из-за теплового расширения лежащий на столе шарик поднимается, а висящий на нити шарик опускается.

Ответ можно выразить простой формулой для разности температур лежащего ($T_1$) и висящего ($T_2$) шариков:

$T_1-T_2\approx-\frac{2mgRQ}{C^2}\alpha,$

где $m$, $R$ и $C$ — масса, радиус и теплоемкость шариков, $Q$ — переданное им количество теплоты, $g$ — ускорение свободного падения, $\alpha$коэффициент линейного теплового расширения материала шариков, который мы считаем достаточно малым. Как видно, $T_1<T_2$ — лежащий шарик окажется холоднее.

Казалось бы, в этом решении все логично. «Первой ласточкой», демонстрирующей, что здесь что-то не так, является мысленная попытка создать на основе шарика тепловую машину.

Машина может работать следующим образом: сначала шарик лежит на столе, где мы его нагреваем, из-за чего его центр масс поднимается. Затем мы закрепляем шарик на висящей сверху нити и аккуратно убираем стол, так, чтобы высота шарика не изменилась. Наконец, охлаждаем шарик до его первоначальной температуры, в результате шарик сожмется и его центр масс поднимется. Итог: часть теплоты, которую мы передавали шарику при его нагреве, превратилась в механическую работу по его подъему, и этот цикл можно бесконечно повторять.


Цикл работы тепловой машины на основе шарика: после нагрева и охлаждения шарик поднялся, а это значит, что часть теплоты мы превратили в механическую работу.

Проблема здесь в том, что, увеличивая радиус шарика, коэффициент полезного действия (КПД) такой машины можно сделать сколь угодно близким к 100%. Это противоречит второму началу термодинамики, согласно которому КПД тепловой машины не может превышать КПД цикла Карно при тех же температурах нагревателя и холодильника.

В чем же дело?


Почему же традиционное решение задачи оказывается неправильным? Здесь нужно учесть, что лежащий на столе шарик уже с самого начала, до его нагрева, будет немного сплющен под действием силы тяжести, а висящий шарик будет немного растянут. Это отрицательно скажется на эффективности вышеописанной тепловой машины: в процессе подвешивания шарик будет слегка опускаться, из-за этого КПД снизится и уже не будет превышать КПД цикла Карно.


Влияние силы тяжести на шарики: лежащий на столе шарик сплющивается, а висящий на нити — растягивается.

Как это проявится при рассмотрении исходной задачи? Оказывается, сжатие или растяжение материала меняет его теплоемкость: в случае сжатого материала нагрев на ту же температуру потребует меньшего количества теплоты, чем в случае растянутого. Следовательно:

  • При нагреве шарика, лежащего на столе, часть теплоты уйдет на его подъем за счет теплового расширения; но, вместе с этим, нагрев самого материала шарика будет происходить легче и потребует меньше теплоты.
  • При нагреве шарика, висящего на нити, работа силы тяжести при его опускании добавится к переданной ему теплоте; но, вместе с этим, нагрев самого материала шарика будет более трудоемким и потребует больше теплоты.


При традиционном решении учитываются только факторы, обозначенные белыми стрелочками. Игнорирование факторов, показанных черными стрелочками, приводит к ошибочному ответу.

Как мы видим, в обоих случаях есть факторы, работающие как в пользу одного варианта ответа (лежащий шарик может оказаться холоднее висящего), так и в противоположную сторону (лежащий шарик может оказаться теплее висящего). Какой из них пересиливает?

Казалось бы, эффект изменения теплоемкости материала при его сжатии или растяжении, даже если и существует, должен быть очень мал, и им можно пренебречь, как и делается при традиционном решении задачи. Однако это не так. Этот эффект такого же порядка малости, что и само тепловое расширение, поскольку оба этих эффекта проистекают из ангармонизма межатомных сил. Учет одного из этих эффектов при традиционном решении в сочетании с игнорированием другого непоследователен и приводит к ошибочному ответу.

В статье показывается, что при правильном решении задачи разность температур шариков после передачи им одинакового количества теплоты оказывается равной:

$T_1-T_2\approx\frac{2mgRQ}{C^2}T\left(\alpha^2+\frac{\partial\alpha}{\partial T}\right),$

где $T $ — абсолютная температура шариков, $\partial\alpha/\partial T $ — скорость изменения коэффициента теплового расширения материала шариков при изменении его температуры.

По сравнению с результатом традиционного решения, разность температур оказывается:

  • Противоположного знака, так как для большинства материалов величина $\partial\alpha/\partial t$ положительна, поэтому вся правая часть равенства тоже положительна, и $T_1>T_2$.
  • Гораздо меньшей по абсолютной величине, так как здесь вместо малой величины фигурируют еще более малые величины $\alpha^2$ и $\partial\alpha/\partial T$.

Таким образом, два рассмотренных выше эффекта почти полностью компенсируют друг друга, но второй из них (изменение теплоемкости при сжатии или растяжении) оказывается немного сильнее первого (теплового расширения).

Ангармонизм межатомных сил


Авторы статьи проводят достаточно строгое рассмотрение задачи, но, к сожалению, не дают наглядного объяснения того, как именно происходит почти полная компенсация двух эффектов, поэтому в этом вопросе пришлось разбираться самому.

На рисунке изображена типичная зависимость потенциальной энергии взаимодействия атомов от расстояния между ними. Действующая на атомы сила направлена в сторону убывания потенциальной энергии, поэтому атомы сильно отталкиваются друг от друга на малых расстояниях и слабо притягиваются на больших расстояниях. На некотором расстоянии $r_0 $ потенциальная энергия достигает минимума. Стремление атомов к этому наиболее энергетически выгодному расстоянию является причиной связывания их в молекулы, жидкости и твердые тела.


Теперь разберемся, откуда возникает тепловое расширение материалов. При хаотичном тепловом движении расстояние между атомами уже не равно строго $r_0 $, а колеблется вблизи этой величины. Связь между атомами обладает свойством ангармонизма: она ведет себя как асимметричная пружина, растянуть которую легче, чем сжать. Как следствие, при тепловом движении связь большую часть времени растянута, а не сжата, поэтому среднее расстояние $\langle r\rangle$ между атомами становится больше, чем $r_0 $. При повышении температуры этот эффект усиливается, расстояния между атомами увеличиваются, и материал расширяется.


Причина теплового расширения материалов: при тепловом движении среднее расстояние между атомами увеличивается за счет ангармонизма сил межатомного взаимодействия.

Что происходит при сжатии или растяжении материала, как в случае сплющенного или растянутого шариков? При сжатии материала внешняя сила уменьшает среднее расстояние между атомами, а при растяжении — увеличивает.


При сжатии равновесное расстояние между атомами уменьшается, а при растяжении увеличивается.

Теперь мы готовы понять, как сжатие и растяжение материала влияет на его теплоемкость. Представим, что мы сжали материал, так что расстояние между атомами при тепловом движении колеблется теперь вблизи сдвинутого влево положения равновесия. Ангармонизм при этом никуда не делся, поэтому, как и прежде, при нагреве среднее расстояние между атомами будет увеличиваться. Но при этом мы будем смещаться обратно в сторону минимума потенциальной энергии, а это значит, что энергия материала будет дополнительно уменьшаться! Так и объясняется уменьшение теплоемкости материала при сжатии: тепловое расширение приводит к небольшому дополнительному уменьшению энергии межатомных взаимодействий, поэтому на нагрев материала требуется меньше энергии.



Если же материал растянут, то ситуация обратная: при тепловом расширении энергия взаимодействия атомов будет расти быстрее, чем в нерастянутом материале. Поэтому для нагрева растянутого материала на ту же температуру потребуется немного больше энергии, чем без растяжения, а значит, теплоемкость растянутого материала будет выше.

Итак, на примере олимпиадной задачи, которую многие десятилетия решали (и, может быть, продолжают решать) ошибочно, мы видим, что реальная физика иногда противоречит нашей интуиции. Поэтому так важно при решении задач аккуратно использовать математический аппарат, не ограничиваясь поверхностными рассуждениями.

По материалам статьи:

Giacomo De Palma, Mattia C. Sormani, Counterintuitive effect of gravity on the heat capacity of a solid sphere: Re-examination of a well-known problem, American Journal of Physics 83, 723 (2015).
Общедоступный препринт статьи: arxiv.org/pdf/1502.01337
Алексей Соколик @PhysRevB
карма
23,0
рейтинг 0,0
физик
Самое читаемое

Комментарии (232)

  • +3
    Мне не понятна фраза из которой и сделан весь вывод задачи:
    При сжатии материала внешняя сила уменьшает среднее расстояние между атомами, а при растяжении — увеличивает

    Почему? Разве они не деформируются абсолютно одинаково? Т.е. если подвешанный шарик «виртуально» повернуть на 90 градусов, то он будет полностью аналогичен расплющенному. Разве не так?
    • +2
      Разве не так?

      Не так. Изменение поперечного размера при растяжении/сжатии происходит пропорционально относительному удлинению. Сопромат я уже подзабыл, но помню, что объём при этом точно изменяется — при сжатии уменьшается, а при растяжении — увеличивается. Подробнее — надо считать.
      • 0
        Кстати интересный вопрос. Сила действует такая же. Опять же интуитивно кажется что деформация будет такая же. Хотелось бы увидеть расчет.
        • 0
          Сила такая же, а деформация разная — об этом и пост)
          Для осознания разницы в направлении деформации можно потренироваться на чем-то подручном (можно, например, губку взять, чтобы масштаб деформации был наблюдаемым).
          • 0
            Коэффициент Пуассона показывает во сколько раз деформация в одном направлении будет меньше деформации в другом.
          • +2
            Неверно. Суть в ангармонизме. Зачем вам кривые потенциальной энергии были нарисованы? Сжатие и растяжение приводят к разной деформации по модулю. Там не симметричная парабола.
            В предельном случае — сжать невозможно на расстояние больше расстояния между молекулами, а растянуть — можно до бесконечности.
            • 0
              Это как-то противоречит моим словам? (или вы не мне ответить хотели?)
              • 0
                Не столько противоречит, сколько я хотел подчеркнуть суть проблемы. В первом приближении отклонение линейно и потенциал Морзе соответствует параболе у дна ямы. И интуитивно линейность в голове у каждого из нас.
                Кстати, кроме нелинейности ещё и тензорность вылазит. При растяжении образец сжимается поперек. А что-то я не обнаружил поправки на этот эффект.
                • 0
                  Согласен.
                • 0
                  мне кажется там следующий порядок малости
          • +1
            Товарищи. Ну разная же сила. Ну скаляр может быть одинаков, а вектор — ни никак не может быть одинаковым. Направление порой намного важнее, чем величина прикладываемой силы.

            Элементарнейший бытовой пример. У нас есть расклеенный ботинок. Мы хорошо там промазали его клеем. Но в одном случае положили на него другой ботинок, а в другом — подвесили за шнурок. Модуль силы одинаковый. А результат?
        • 0
          Рассчет тут не нужен, при сжатии — по оси размер уменьшается, при растяжении — увеличивается.
          То есть отношение сторон будет таким же, а сами размеры эллипса разные (при сжатии — меньше).
          Соответственно межатомное расстояние будет меньше при сжатии и больше при растяжении, отсюда и эффекты теплоемкости и т.п.
    • +20
      Лежащий на столе шарик сжат по одной координате (высоте) и чуть растянут по двум другим. Подвешенный — сжат по двум координатам, а растянут по одной высоте. Поэтому поворотом одно в другое точно не переходит.
    • +3
      Коэффициент Пуассона материалов меньше 0.5, это значит, что расплющенный шарик увеличивается в ширину (по площади поперечного сечения) меньше, чем сжимается в высоту. То есть, в некоторых направлениях межатомные связи будут удлиняться, но сжатие все равно будет доминировать.

      На самом деле, при точном рассмотрении вообще не важен точный вид деформации шарика (он может быть хоть асимметричным, как у рыбы-капли). Хотя, конечно, предполагается, что деформация достаточно мала.
      • 0
        Что, собственно говоря, и снимает ложное противоречие со вторым законом термодинамики. Описанный в статье мысленный эксперимент некорректен.
    • +6
      Это только на двумерной картинке так кажется. Лежащий шарик буддет сплющиваться в сторону «лепешки», а висящий — растягиваться в сторону «огурца». Так что как минимум форма будет разной.
    • 0
      Сплющенный шарик по форме как мандарин, а вытянутый как яйцо, это в 2d деформации выглядят одинаково.
    • 0
      Для наглядности изменения формы удобно рассматривать в качестве примера этих шариков — резиновые надувные шарики наполненные водой.
    • 0

      Шарик — он не плоский, вас картинка ввела в заблуждение =).

    • 0
      Я бы сказал, что лежащий будет стремиться к форме тыквы, а висящий — к форме дыни.
  • +2
    Возможны ли еще решения? это ведь все упрощенная модель реального мира.
    • +2

      Условия задачи уже упрощают реальный мир. Начиная от "при одинаковой температуре" и заканчивая "потерями пренебречь".

  • –1
    Как видно, T1<T2

    Вроде по первой формуле получается T1 ≈ T2−2mgRQα/C^2, т.е. T1 > T2.
    • +2
      T1 — T2 < 0, переносим T2 в левую часть неравенства, получаем T1 < T2.
  • +7

    Экспериментально надо проверять, иначе и это решение окажется неверным через N лет.

    • 0
      Как вы предлагаете экспериментально реализовать условие задачи «Любыми видами тепловых потерь можно пренебречь»?
      • 0

        Пренебрегают для упрощения задачи, чтобы в заданный интервал времени её решить, а для реального эксперимента нужно полную модель построить, проверить её корректность, а потом модифицировать под задачу (например приплюсовать тепло ушедшее в нить к шарику).

  • +6
    А что показал эксперимент?
    • +6
      Вроде оценки показывают, что даже в оригинальном варианте решения эффект очень мал и его трудно измерить, а при правильном решении эффект еще слабее. Так что вряд ли кто-то будет организовывать дорогостоящие эксперименты со сверхточными измерениями, не такая уж и важная эта задача. :)
      • +8
        В этом вся бессмысленность задачи в качестве олимпиадной (или учебной), потому что обычно задачи подразумевают, что можно принебречь слабыми эффектами, но тут все вокруг именно слабых эффектов вертится. Поэтому эталонное решение и неправильное, потому что нельзя выборочно пренебрегать эффектами одного порядка.
        • 0

          Составители задачи очевидно подразумевали что правильным является первый ответ (T1 < T2)
          Как ни мал эффект количественно, но это эффект первого порядка и просто обязан быть учтенным в рамках задачи. А вот обратный эффект далеко не очевиден и явно выходит за олимпиадные рамки, это скорее задача на засыпку по физфаковскому курсу термодинамики, второй курс как минимум.

      • +2
        Но есть же британские ученые! Можно им поручить!
        • +1
          Готовьте фунты, коллега. Такой важный важный эксперимент должен обеспечить британских учёных на три поколения вперёд.
  • +8

    вообще не понятно почему при нагревании размер увеличивается.
    Тот же шарик из воды при температуре в 1 градус при нагревании будет уменьшаться.

    • +7
      Да, есть материалы с отрицательным коэффициентом температурного расширения, но это бывает редко и, как правило, либо в кристаллах с жестко направленными ковалентными связями, либо если при изменении температуры происходят какие-то структурные перестройки (как в случае воды вблизи точки замерзания).
  • +5

    Ох уж эти олимпиадные задачки по физике, совершенно оторванные от задач реального мира...

    • +13
      Так уж и оторваны? При проектировании сложных сооружений ещё и не такие нюансы придется учитывать, чтобы здания не падали и мосты не рушились.
      • +16
        При проектировании эффекты учитываются в порядке убывания порядка малости. То есть, сначала учтут тепловой контакт/конвекцию/излучение, а уже потом, если потребуется, займутся эффектами асимметрии связей.

        Здесь же наоборот говорят «забудьте про все реально важное — посчитайте нам вон ту пренебрежимую фигню». Я бы честно даже не стал думать об энергии связей после того, как было сказано о пренебрежении теплопереносом, и просто бы заявил, что температуры равны.
        • 0

          Есть ситуации, когда пренебрежение теплопотерями оправдано. Например, теплопотери могли быть уже учтены и компенсированы кем-то другим.


          Также, теплопотери будут вовсе равны нулю если шарик находится в равновесии с окружающей средой. И есть очень простой способ этого добиться — достаточно оставить шарик в покое и он сам придет в это равновесие :-)


          В задаче же не сказано, каким образом шарику передали количество теплоты? Это вполне мог быть нагрев от окружающей среды.

          • +15
            Такие трактовки приучают к плохому стилю мышления, к потере консистентности в восприятии физики, как таковой. Нормальной логикой в любом вопросе будет пренебрежение всем менее значимым, чем уже пренебрегаемое по условию.

            не сказано, каким образом шарику передали количество теплоты? Это вполне мог быть нагрев от окружающей среды.
            Зато:
            1 — сказано, что оно одинаковое.
            2 — если бы нагрев шел действительно через тепловое равновесие с окружающей средой, то и ответ будет «температуры равны (и равны температуре среды)»
            3 — в предлагаемом вами варианте не имеет смысла вообще разговор о потерях и тд.

            Рассуждения подобного рода действительно очень занимательны (для упражнений в софистике/риторике/...), но им не место в реальных задачах. Мы либо понимаем условие буквально и решаем, либо решаем параметрически (тогда ответ будет функцией от принятых допущений) либо говорим, что у нас мало данных.
            • 0
              если бы нагрев шел действительно через тепловое равновесие с окружающей средой, то и ответ будет «температуры равны (и равны температуре среды)»

              Почему вы думаете, что оба шара находятся в одной и той же среде?


              Рассуждения подобного рода действительно очень занимательны (для упражнений в софистике/риторике/...), но им не место в реальных задачах. Мы либо понимаем условие буквально и решаем, либо решаем параметрически (тогда ответ будет функцией от принятых допущений) либо говорим, что у нас мало данных.

              Вот и надо понимать буквально! Написано что теплопотерями можно пренебречь — значит, их не учитываем.

              • +2
                Например, потому, что они находятся на одном рисунке. Или потому, что об этом ничего не говорится в условии, а решение не должно зависеть от наших фантазий, м?

                Вот и надо понимать буквально! Написано что теплопотерями можно пренебречь — значит, их не учитываем.
                Я так сразу и написал.
                Я бы честно……… заявил, что температуры равны.
                • –1

                  Вот именно, решение не должно зависеть от наших фантазий. В условии не сказано где они находятся — значит, они могут находиться где угодно.

                  • +1
                    но если где угодно, то какие угодно планеты -> какая угодно сила тяжести -> какие угодно деформации.
                  • +6
                    Если не сказано, где находятся, то их окружение не должно влиять на ответ. Все просто)
                • 0
                  А я понял идею mayorovp. Можно предположить, что шарики находятся в двух разных средах, постепенно и равномерно нагревающихся. А уравнивается у шариков по условию изменение количества теплоты, а не температура — последняя выходит немного различной в конце нагрева в зависимости от затраченной работы.
                  Но да, выглядит весьма и весьма натянуто…
            • 0
              Да, меня тоже всегда бесят эти бумажные задачки «ни о чем». И как обучающий пример они очень плохи. В результате имеем ситуацию, описанную в анекдоте: — Мне высшая математика пригодилась один раз в жизни. Когда я уронил ключи в унитаз, сделал из проволоки интеграл, чтобы их достать.
              Сколько мне ни приходилось решать по жизни задач (не из высшей математики, которую я не знаю), все они не имели аналогов в школьном курсе и приходилось чесать репу и искать как же это решить. А решения всех подобных простых задач известны, но почему-то в школе не изучаются, зато изучаются сферические кони в вакууме, условия к которым взяты с потолка и даны в готовом виде.
              • +2
                Ну, обобщаете Вы зря. Мне математика пригождается систематически. Я даже систематически натыкаюсь на собственную слабость в решение диф.ур.
                А что касается задач, которые «известны, но почему-то в школе не изучаются,» — приведите хоть один пример.
                • 0
                  Я не говорил, что математика не пригождается! Вы всё поняли с точностью до наоборот — она НУЖНА даже людям, не связанным с инженерными специальностями, но то что преподают в школе — ну пусть в 90% случаев — не о том. Разве что элементарная арифметика пользуется успехом, но это не тот случай, о котором речь. Примеров приводить не буду — ибо лень, скажу только что я задавал конкретный пример одной математичке (родственнице знакомого, при случайной встрече) — она сказала что это не из школьной программы. Вопрос вообще-то не в способах решения (которые изучают, конечно не совсем зря), а о постановке задачи. Когда человеку сунули под нос условия как в примере из этой статьи, у него мозг отключается, а включается счетный аппарат. Он чисто механически применяет правила решения, которым его обучили. А когда сталкивается с проблемой в жизни, не знает каким же примерам из учебника она соответствует — тут и стоп счетной машине. А все потому что в школьном учебнике нет ни одного примера с реальными задачами. Я вообще не понимаю зачем придумывать такие дурацкие задачки — нет чтобы взять те, что наиболее часто встречаются на практике! И, кстати, если почитать литературу из хотя бы середины 20-го века, то там-то как раз примеры из жизни приводились, которые как раз и пригождаются. Аднажды обнаружел такой учебник — в нем оказалась просто кладезь полезных знаний, по сравнению с тем, по чему я учился!
                  • +1
                    она сказала что это не из школьной программы

                    Наша бы так не ответила.

                    у него мозг отключается, а включается счетный аппарат

                    Что верно — то верно. Вырваться из этого состояния удаётся долям процента. Причём, не благодаря школе.

                    А все потому что в школьном учебнике нет ни одного примера с реальными задачами.

                    Отнюдь не поэтому, а потому что не учат составлять задачи. Те самые «доли процента» научиваются этому сами.
                    • 0
                      У вас есть чашка горячего кофе и нет возможности подогреть его заново.
                      Вы собрались добавить туда сливки, но тут вас вызвали на 5 минут в соседний кабинет.
                      В каком случае кофе будет горячее: если добавить сливки перед выходом из кабинета или если добавить сливки после возвращения?
                      • 0
                        Если добавить. Меньше градиент температуры — меньше тепловой поток.
                        Но, честно говоря, если бы я не изучал в институте теплотехнику, я бы об этом даже не задумался никогда. Потому что различия не существенны: кофе со сливками — уже не горячий, ±5° роли не играют.
          • +2
            а ещё в космическом вакууме терять тепло некуда (почти), а либо излучателей, либо своей энергии — полно.
        • +1

          Вы будете неправы чисто логически. Температуры равны — совершенно правильный ответ в нулевом приближении, однако здесь сама постановка задачи указывает что нужно найти следующее приближение.

          • +1
            Чисто логически неверно просить найти второе приближение, пренебрегая первым — вот моя основная претензия к этой задаче.

            Я вам даже могу сказать, для чего потребовалось пренебрежение переносом тепла — без него не получится теплового равновесия, а значит, понятие температуры тела не будет определено принципиально. Добавив же такие ограничения автор якобы демонстрирует нам красивый эффект, в реальности же это полностью лишает задачу физического смысла.
            • 0

              В принципе, я согласен. Но мы говорим немножко о разных вещах. В предложенных условиях этот эффект является эффектом первого порядка. Другое дело что условия физически нереализуемы, но это наверное допустимо для олимпиадной задачи.

              • +1
                Не просто нереализуемы, а бессмысленны. Понятно, что можно сколь кгодно хитро сформулировать задачу, но смысла в ней от этого не прибавится. Нет, я согласен, что описанные здесь явления довольно интересны и красивы, но задачу для их демонстрации надо выбирать другую, и я уверен, что ее вполне реально придумать без привлечения такой вот «синтетики».
                • 0
                  Сказать, что у шариков после нагрева оказались одинаковые температуры, найти в каком случае сильнее изменилось количество теплоты? Тогда потери как раз не важны. Они есть, но в итоговое deltaQ=A+deltaU не входят.
                  • 0
                    Не знаю. С виду лучше, но все равно не без проблем. Понятие температуры требует теплового баланса. Это значит, что если есть потери, они должны компенсироваться. И я не вижу способов для внешнего наблюдателя отличить охлаждение/нагрев за счет явлений, описанных в статье, от таких же изменений из-за различия в конвекции, например.
    • +10
      Если подходить строго к условиям задачи, то температура будет одинакова т.к.
      Любыми видами тепловых потерь можно пренебречь

      в т.ч. и на межатомные связи… и изменение гравитационного поля :).
      Не любил всегда олимпиадные задачи, где не четко описаны условия и применяемые (действующие законы).
      Более интересны групповые обсуждения мысленных экспериментов (в МФТИ) с самыми диковинными предположениями.
      Примеры см. ниже.
      • 0

        Когда тепло переходит в работу — это же не потеря!

        • +5
          Это не теплопередача, но все еще потеря)
        • +1
          А излучение потеря? т.к. имеем импульс от теплового фотона = движение шара (работа).
          Или см ниже конвенция, тоже можно привязать к работе (упругость воздушного потока).
          А еще распространение теплового фронта в твердом теле можно учесть.

          А претензии к постановке задачи, почему не: «какое перемещение шаров вызовет нагрев, если приведенная тепловая энергия расходуется только на тепловое расширение тела, без учета других сил действующих на шары?»
    • 0
      В программировании тоже любят докапываться до всякой фигни, типичный вопрос:
      Чему равно 1.15 + 2.30?
      А) 3.45
      Б) 3.4499999999999997
      • +4
        Ну тут вполне себе реальная проблема (или фича) компилятора/интерпретатора показана, чтобы не наколоться в реальной работе на том, что сумма не сходится.
    • +3
      Получается двойной отрыв: школьные задачи оторваны от задач реального мира, а олимпиадные задачи оторваны даже от школьных. :)
      • 0
        Хорошо, что это не «Специальная олимпиада» или всё же…
    • –1
      Да не нужны никакие «задачи реального мира». Смысл в том, чтобы научиться решать любые задачи — согласно моему пониманию, именно в этом заключается цель получения общего образования. Потому что спектр «задач реального мира», на который так любят ссылаться противники школьных курсов и адепты «мне-это-в-жизни-не-пригодится», банально слишком велик и разнообразен для того, чтобы имело какой-то смысл на него опираться. Всему не научишь. А вот умение разбираться в незнакомых вопросах, анализировать ситуацию и самостоятельно строить алгоритмы решения — штука ценная. И в этом смысле олимпиадные задачи ничем не хуже, а зачастую и лучше остальных — из-за своей сложности.
      • –1
        Смысл в том, чтобы научиться решать любые задачи — согласно моему пониманию, именно в этом заключается цель получения общего образования

        Суть получения общего образования — развитие у подростков коммуникативных навыков, развитие лидерских качеств, осознание своих предпочтений, получение базовых знаний о мироустройстве.
        Высшее и прочие образования дают глубокие профессиональные теоретические знания, выбор которых родился благодаря получению общего образования.
        И только жизнь учит решать задачи.
        Кто-нибудь помнит, чем занимались некоторые профессора в начале 90-х? Они работали дворниками. Потому что умели решать задачи только в искусственной идеальной среде, в которой можно, например, мгновенно сообщать предметам одинаковое кол-во теплоты и пренебрегать любыми теплопотерями.
        Такие задачи отсеивают софистов, а не инженеров, могущих решать действительно жизненные задачи.

        И вообще, образование — это индустрия сервиса.
        • +2
          Смысл общего образования — натаскивание нейросети для получения навыка получения и обработки информации, а так же для возможного ее дальнейшего обучения и развития во взрослой жизни.
      • +1
        Соглашусь в чем то.
        Когда я в 1998 участвовал в областной олимпиаде по физике, часть оценки была за оригинальность мышления, часть за подробные описание хода решения и часть за правильность решения.

        ЗА лабораторную часть мне поставили самый высокий бал как раз нестандартность подхода и предложенное решение
    • 0
      там прямым текстом в условиях написано — "(Любыми видами тепловых потерь можно пренебречь.)"
      т.е. остывать вообще ни один шарик не будет, как и «преобразовывать энергию от сжатия».
      и это не «упрощение», а «расчёты при идеальных заданных условиях», потому что если добавить в конце «измерьте температуру в комнате и впишите данные в условия задачи» — это уже не «задача на олимпиаде», а «лабораторные исследования», и «правильный ответ» будет различаться на двух рядом стоящих партах.
      • +1
        Отсутствие тепловых потерь означает, что стенка шарика является адиабатической. Точка. Преобразования энергии внутри шарика тепловыми потерями не являются.
        • –1
          вот на этом вас, «шибко умных», и ловят в задачах на логику. там уже напридумывали, что лежащий шарик куда-то покатится из-за нагрева — хотя в задаче нет ни условия, ни вопроса про механические перемещения вследствие нагрева.
          если уж на то пошло — растяжение висящего шарика не ведёт к охлаждению из-за расширения — это тоже «внешнее воздействие». иначе при испытаниях на разрыв место разрыва покрывалось бы инеем, а оно почему-то выглядит как после нагрева.
          • +2
            ловят в задачах на логику

            Это каких например?

            иначе при испытаниях на разрыв место разрыва покрывалось бы инеем

            А тепло-то выделилось в следствие упругой деформации или пластической?
  • +9
    Если копнуть глубже и учесть теплопотери, то потери на конвекцию у висящего больше чем у лежачего.
    • +20
      а если еще и учесть тепловое излучение и отражение обратно от стола к шарику, то и того больше
      • +2
        Полностью поддерживаю, сдаётся мне если учесть отражения и излучения, на их фоне «тепловая деформация» будет пренебрежимо мала. Совершенно идиотская задача.
  • 0
    > из-за этого КПД снизится и уже не будет превышать КПД цикла Карно

    Странная логика — сначала проводим мысленный эксперимент, приходим противоречию и делаем вывод, а потом отмечаем, что наш эксперимент был неверный.
  • +4
    В исходной задаче, с учетом того, какие тонкости рассматриваются, стоит тогда уж оговаривать, что от первоначальной температуры до конечной (причем включая их) достоверно не происходит фазовых переходов.
    • 0
      Это на физику а не на реальный мир задача. Шарик это тело сделанное из того же вещества, что и точка с прямой. и тонкая невесомая нерастяжимая нить, на которой висит второй. Не бывает у него переходов.
  • +4
    >мы видим, что реальная физика иногда противоречит нашей интуиции.
    Интуиция как раз то и говорила, что температура равна будет… (или как раз почему то говорила что что лежащий шарик теплее), только получив ответ неверно в голову приходил ответ с тепловым расширением…
  • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
  • 0
    Кстати, эффект охлаждения при растягивании весьма велик. Достаточно приложить к губам пластмассовую линейку и изогнуть её от себя, чтобы почувствовать. А если изогнуть на себя, то соответственно чувствуется нагрев. Возможно, на этом принципе даже можно сделать холодильник ;)
    • 0
      Не совсем так. http://www.fizportal.ru/rubber, с линейкой почти также(она тоже сложный цепочный полимер)
    • +7
      Ну спасибо, сломал линейку.
  • +16
    Меня всегда умиляли такие школьно-олипиадные задачи, которые, типа, с хитринкой, однако половиной эффектов реального мира (какой именно — не уточняется) можно пренебречь. В итоге из пальца высасывает какое-нибудь красивое решение. А если посмотреть под другим углом — можно высосать другое.
    • +7
      У меня однажды был конфликт с преподавателем на схожую тему. Задача была решена, но была решена «не так». Поэтому «неправильно» и оценка неуд. То что решений может быть много её (препода) не интересовало, раз не как в методичке, значит и неправильно, но доказать она это не могла и даже не пыталась, чем меня просто выбесила. Дошло до криков и принципов, в итоге импровизированная комиссия из других преподов доказала мою правоту, но осадок остался. Я к тому что подобные задачи — зло, да и препод был шаблонный урод. Зло ещё и задачи с подвохом и не очевидным решением, когда в условии это не указывается. Знаете бывают такие, на вид математическая, а по факту «на смекалку» и это не указано в условии. Ты уже логарифмы вспомнил с Пифагорами, а тебе говорят потом что надо было кружочки в цифрах посчитать. Хочется взять и больно стукнуть автора.
      • +3

        Проблема в преподах, не в задачах. Хороший преподаватель примет любое решение, если оно правильное.


        PS о да, я помню ту задачу про кружочки в цифрах. Между прочим, очень напоминает реальные задачи, которые приходится решать при разработке решений для Sharepoint.

        • 0

          А что это за задача с кружочками? Расскажете?

          • +1
            Найдите закономерность
            1425 - 1
            1686 - 4
            1737 - 0
            2445 - 2
            3774 - 1
            5513 - 0
            5514 - 1
            6576 - 2
            7170 - 1
            7412 - 1
            8618 - 5
            • 0

              А, понятно. Топология. Забавно.


              Автора этой задачи бить совершенно не за что.

    • +1
      Типа «Горело 7 свечей, 3 погасло. Сколько осталось?»
      (С вариантами (разной степени правильности) ответа «4», «3», «7», ">=4" (может, я ещё что-то упустил))?

      Или сравнение ваты и железа по весу (с 3 «правильными ответами»)?

      Или где ответ «яблоки на берёзах не растут» прямо противоречит условию задачи?
      • +1
        Ещё вариант >=7, написано сколько горело, но не сколько «было» :)
      • 0
        1)Может имелось ввиду количество атомов в свечах? — дофига
        2)Может имелось ввиду количество коров в задаче? — 0
        3)Может имелось ввиду количество натуральных чисел между числами 1 и 3? — 1
        Итого лучше всего ответить R или [-∞, ∞]

        Вообще считаю что без объяснения какого-либо ответа, нельзя считать его не правильным. Потому что при разговоре всегда идет потеря смысла сказанного и другой человек должен объяснить своё понимание поставленной задачи, если же оно окажется не правильным, то первый человек сможет уточнить детали своей задачи.
    • +1

      Мораль данной конкретной истории весьма однозначна: пренебрегать теми или иными эффектами следует согласованно. Если в нашем мире есть гравитация и тепловое расширение, то обязано быть и изменение теплоёмкости из-за деформации, обусловленной гравитацией. А вот отсутствие теплообмена с окружением и т. д. — допустимые предположения, не противоречащие наличию гравитации и теплового расширения (и основам термодинамики).

  • +2

    Странная публикация по идеологии
    Общие соображения — любые задачи по физике решаются в рамках той или иной идеализации. Для школьных задач обычна концепция абсолютно твердого тела — то есть деформация отсутствуют, силовое воздействие одинаково для всех точек тела, например, мы можем переносить точку приложения силы вдоль линии ее действия.
    В рамках этого обычного школьного курса данная задача поставлена правильно и решена также правильно, так как механика деформируемого тела выходит за рамки школьного курса.
    Далее выносится новое предположение — лежащее тело сжато, а висящее расширено.
    Спорное утверждение — нарисованные картинки весьма условны и не соответствуют реальным формам висящего шара или лежащего шара — деформация однозначно не однородна, например для лежащего шара нижние слои сжаты, верхние расширены. В целом, среднее расстояние между атомами висящего или лежащего тела требует более точного анализа (см Механику деформируемого тела)
    Но межатомное расстояние в твердых телах в основном зависит от температуры тела (пресловутое тепловое расширение тел), Изменение межатомных расстояний за счет механических причин по всему объему тела требует всестороннего сжатия или всестороннего растяжения, причем величины напряжения должны быть весьма велики.
    Поэтому скорее всего, если пересчитать по реальным распределениям деформаций лежащего или висящего теал, то скорее всего прозойдет компенсация сжатых областей расширенными областями.
    Считать точно по правильной картине деформаций большого смысла нет, так как сам эффект в исходном решении задачи весьма мал, как он мал и при каком-либо изменении идеологии расчета.
    Как итог, пример неверной интуции хорошо продемонстрирован самой статьей — нарисовали две картинки и сделали по ним выводы, хотя известно, что математика — это искусство правильно рассуждать на неправильных чертежах.
    Дополнительно, заметим, что, если мы будем учитывать деформацию тела, то вне зависимости от расположения тела (висит оно или лежит), центр тяжести понижается в результате деформации.

    • +1
      При точном рассмотрении задачи конкретный вид деформации тела не важен, важно лишь изменение высоты центра масс тела при изменении температуры T. А именно, если высота центра масс есть Y, то при неправильном решении разность температур шариков будет пропорциональна -dY/dT, а при правильном — пропорциональна второй производной d^2Y/dT^2. Т.е. видно, что на самом деле эффект противоположного знака и слабее.

      Под точным рассмотрением здесь имеется в виду «точное рассмотрение в первом порядке по силе тяжести (или по величине g)», т.е. деформации предполагаются любыми форме, но достаточно малыми по величине.
    • 0
      А с чего вы собственно решили, что верхние слои лежащего тела будут расширены? Там что-то сказано о том, что гравитация меняет знак? Или по сравнению с чем?
      • 0

        Если нижние слои сжимаются, то верхние разрежаются — направление сили тяжести, как вы правильно заметили сверху вниз. На низ действует полная сила веса шарика, поэтому сжатие сильнее, на верх же ничего не давит, они не сжаты. То есть плотность увеличивается по направлению к низу.
        Хотя для твердых тел это очень слабый эффект, о чем и говорилось в комменте

  • +8
    Вот только ученикам забывают сообщить о том, что используется та идеализация, или другая. Для самостоятельного выведения этой идеализации требуется точно знать, что входит в курс, а что нет, в тонкостях. А так-как, чтобы даже попасть на олимпиаду, недостаточно выучить учебник физики наизусть необходимо помнить-узнал-ли ты о форме Земли из учебника физики, или где-то из дополнительной литературы.
    Дурдом, в общем, всегда бесили такие «красивые» задачи.
    • +2

      Вы путаете олимпиады и контрольные. На олимпиадах дополнительные знания никогда не помешают, а на случай неправильной идеализации есть апелляция.


      Вот на контрольных, там да — даже материал следующей главы учебника может оказаться под запретом, особенно при плохом преподавателе.


      Помню ситуацию с красной границей фотоэффекта, где в одной главе утверждается что ниже нее электроны никогда не вылетают независимо от интенсивности света, а через главу — что при очень больших интенсивностях иногда начинают вылетать :-)

      • +3
        Помню задачи про катящиеся бочки с водой и медом. Сидишь и думаешь, подразумечается ли учет вязкозти жидкости в бочке, если 4/5 класса такого термина даже не знают.
    • 0
      Да, я тоже не люблю олимпиадные задачи, тем более с подвохом. Но кому-то это нравится — как в шахматах, соревноваться, кто кого перехитрит.

      А здесь ирония в том, что авторы задачи, вроде как, особого подвоха не задумывали, но он сам возник без их ведома. :)
  • +11
    Именно из за таких задач, олимпиадники отличаются только умением решать олимпиадные задачи, а не знанием предмета в общем смысле.
    • +4
      Согласен с
      олимпиадники отличаются только умением решать олимпиадные задачи
      .
      Как бывший олимпиадник могу сказать, что основная проблема в таких задачах — понять что именно подразумевает вопрос и что надо отсечь (по мнению вопрошающего), а не поиск решения.
      Согласен с
      олимпиадники отличаются только умением решать олимпиадные задачи

      все скатывается в психологию соревнований, а не решение физических задач. (
      а не знанием предмета в общем смысле
      )
    • +5
      Не скажите. С «коллегами» олимпиадниками не довелось в последствии общаться, основываясь на личном опыте (стабильное 1-2 место область, вторая десятка республика, химия):
      — навыки обработки огромного количества информации в старшей школе сильно помогли в дальнейшей учебе в ВУЗе;
      — нет было проблем с поступлением, кроме того, для «республиканцев» зачастую проводят курсы в ВУЗах, читая вполне функциональные лекции и давая практические основы работы с предметом, чего зачастую нет в школах;
      — опыт работы с большим количеством информации и навыки быстрого принятия решений (на олимпиадах, чаще всего затык с отведенным временем) сильно помогают в работе по специальности.
      — прочно усвоенная база позволяет быстро перейти к работе по другому направлению в рамках работы по специальности. Мне, например, совершенно не сложно оказалось перейти с технологии производства стройматериалов, на координационную химию (микроудобрения), в дальнейшем, на электрохимию.
      В общем, как всегда — чем больше усилий прилагаешь к обучению, тем меньше приходиться напрягаться в реальной работе)
    • –1
      А почему эта задача олимпиадная? примитивная задача на полную энергию. Такое кажется на втором уроке темы дается.
      Полная энергия (внутренняя кинетическая и потенциальная) обоих шаров одинакова в обоих фазах.
      Потенциальная отличается от первой фазы в разные стороны. Значит у кого потенциальная выросла, тот и холоднее.
  • +13

    Уважаемые олимпиадники! А ну-ка угадайте, какой из пренебрежимо малых эффектов я загадал ;)

    • 0
      Гравитационная система из трех масс (шары + земля)? вроде входит в школьный курс :)
      • 0
        Солнце и Луну забыли — так все становится намного веселее.
  • –1
    А теперь давайте забудем про все эти малозначительные теории и вернемся к насущному. Шар на нитке будет теплее по той простой причине, что теплопередача через нитку и воздух к более холодной поверхности несравненно хуже, чем при его прямом контакте с ней. Идите, лизните поручень при -20… А то что поверхность будет холоднее, это однозначно, поскольку по условиям задачи дополнительное тепло сообщают только шарам.
    • +1
      в условии задачи сказано:
      Любыми видами тепловых потерь можно пренебречь
      • –1
        Можно != Обязательно
        • +2
          В нормальных задачах это подразумевает, что они пренебрежимо малы на фоне других эффектов.
    • 0
      а вот тут уже вопрос в радиусе самого шарика (и соответственно, «пятна» контакта) а так же материала и толщины веревки.
      • +1
        А также, материала поверхности и окружающей среды, температуры всего этого и тд и тп. и я вообще сомневаюсь, что такая задача решаема аналитически (даже если закрыть глаза на то, что понятие «температура шарика» теряет при этом смысл).
  • +3
    Почитал утром и даже настроение улучшилось, а то в газетах все война, кризис, выборы…
  • 0
    Хотелось бы результат эксперимента что ли.
  • –1

    Не понял, а что у них объем при деформации меняется что-ли? Если да то почему, ведь работа на девормацию затрачена одинаковая, а значит часть работы уйдет на поднятие лежачего шарика в первом случае, остальное на нагрев, а во втором вся работа пойдет только на нагрев висячего. Значит температура лежачего шарика будет ниже, чем висячего.

    • 0

      Вы пост-то читали?


      У висячего шарика теплоемкость выше, поэтому он нагреется слабее — и этот эффект на проверку оказывается чуть-чуть сильнее названного вами.


      Кстати, вы забыли что висячий шарик опустится — и эта работа также пойдет на его нагрев.

      • –1

        Зачем мне знать теплоемкость, если достаточно знать подведенную энергию и то на что она пошла, а пошла она на нагрев и работу расширения шарика, а также перемещение. Все, остальное не важно, подведенная энергия минус работа пойдет на нагрев, получается у лежачего температура будет ниже вот и все.

        • 0

          Как-то вы хитро из энергии вычли работу и получили температуру… Вас не смущает, что энергия в джоулях, а температура измеряется в градусах?

          • –1
            В зависимости от принятой системы определений можно считать температуру мерой средней кинетической энергией молекул. Если получится отделить это от всей остальной энергии в системе, то вполне реально сравнивать (тела ж одинаковые).
          • 0

            А вас не смущает, что температура это мера нагретости тела? Она может измениться только при изменении внутренней энергии тела, которая подчиняется первому закону термодинамики.

            • +1

              Но это не означает, что при одинаковом изменении внутренней энергии температура изменяется одинаково.

  • 0
    А вот на на шарик который лежит в результате расширения должна действовать сила трения о поверхность. В задаче не написано что этим можно пренебречь.
  • 0

    Шарик, лежащий на земле, охлаждается от контакта с землей. Ведь его нагревают не мгновенно?


    И деформация не просто плющит шар в эллипс, а в 'грушу', то есть нижняя часть больше.

  • 0

    Слишком не точная формулировка, которая допускает очень много интерпритаций:
    1) Какие были начальные температуры шариков? В условии оговаривается только окружающая среда (не было сказано что их температура равна, они находились при одинаковой температуре);
    2) Коэффициент теплового расширения (положительный / отрицательный);
    3) Считать ли шарик абсолютно твердым телом?

    • 0
      1) Ну я видел разные варианты формулировок, и «находящиеся при одинаковой температуре», и «имеющие одинаковую температуру». Согласен, что второй вариант более удачный и однозначно интерпретируемый.
      2) По умолчанию положительный, как для большинства материалов, но это уже школьник должен додумывать сам.
      3) Если шарик абсолютно твердый, то и расширяться и деформироваться не будет. Не очень понятно, как вообще скрестить абсолютную твердость и тепловые процессы, может возникнуть много противоречий.
  • –2
    Вот не удивительно, что у меня был троебан по физике, вот совсем не удивительно.
    Оказывается, сжатие или растяжение материала меняет его теплоемкость: в случае сжатого материала нагрев на ту же температуру потребует меньшего количества теплоты, чем в случае растянутого
    А я вижу, что оба шарика сжаты только один сверху и снизу а другой справа и слева.
    Как ракеты в космос запускают — загадка.
    • 0
      Главный вопрос, как они не разбиваются о небесную твердь?
  • –1
    Мне не понятно почему даже в таком объяснении, игнорируется, что существует материалы с отрицательным коэффицентом теплового сопротивления. ИМХО единствеено верный ответ — одинаковая температура.
  • 0
    Самое интересное, что в подобных задачах «правильное» решение знает только автор задачи, причем эксперимент не ставится принципиально т.к. для автора ответ «очевиден» :)
  • +5
    Красивая задача, но уверждение о том, что интуиция нас подводит хочу оспорить.
    Интуиция говорит нам, что если тепловых потерь нет, то темературы шариков после сообщения им одинакового количества теплоты будут РАВНЫМИ. Именно это — интуиция, потмоу что этот ответ который приходит в голову сразу, сам по себе, автоматически. Как в итоге выяснил автор и авторы альтернативного решения (аналитика и процесс решения не имеют ничего общего с интуицией) — интуиция в этом смысле как раз таки нас не подводит. Почти :)

    О том, что такое интуиция и как мы принимаем интуитивные решения написано много. Могу лишь порекомендовать ознакомиться с некоторыми тезисами Даниэля Канемана.

    И вот вам классическая задача «на интуицию»:

    Бейсбольная бита стоит на 1$ дороже, чем бейсбольный мяч. Бита вместе с мячом стоят 1,1$ (один доллар десять центов). Сколько стоит мяч?

    Напишите, только честно, сначала тот ответ. что приходит вам в голову интуитивно, а потом не сложно решить эту арифметическую задачу в одно действие и убедиться, что вот тут уж действительно, инуиция нас подводит.
    • +1
      Нда… реально «засадная» задачка из начальной школы. И ведь пока не сел в голове с простым уравнением, так и не увидел подвоха.
    • +1

      Какая-то бейсбольная бита… Оторвались от корней, забыли Витю Малеева.

  • 0
    Нижний шарик будет холоднее :) такими тонкими материями, как в статье, можно пренебречь. А вот передача тепла полу будет явно больше, чем через ниточку/верёвочку/etc.
    • 0

      Подразумевая, что ниточка это все, через что может идти теплообмен. Ведь есть же еще воздух и конвекция. :)

      • 0
        (Любыми видами тепловых потерь можно пренебречь.)


        Если я правильно понимаю, то этим можно пренебречь. Хотя и с полом тоже можно посчитать «тепловые потери» :)
        • +1
          Не «можно посчитать», а это и есть тепловые потери.
  • 0
    Если шарики находятся в вакууме и имеют начальную температуру 0 К, а потом об каждый ударяется одна молекула водорода. В чём будет разница?
    Я не физик, мне действительно интересно.
    • 0
      Ну здесь разница в том, что молекула водорода своим ударом может вызвать колебания формы шариков и раскачать их. Колебания формы потом затухнут и их энергия все равно перейдет в тепло. Раскачивание шариков тоже, так или иначе, затухнет, отдав свою энергию частично шарику, частично поверхности стола или веревке. Это уже сложнее оценить, куда пойдет сколько энергии, зависит от того, в какое именно место шарика молекула ударит.
      • +1
        На таких масштабах «перейдет в тепло» — уже не корректно. Реально, у вас от единичного соударения образуется один фонон акустики, который уже будет жить в решетке и что-то мне подсказывает, что в идеальной решетке он так и будет летать внутри, никак не сдвигая общий центр масс системы.
        • +1
          Можете забыть о нем после первого же поглощения узлом решетки (ну или какие у нас колебательные центры в рассматриваемом шарике).
        • +2
          Вообще-то, возбудится суперпозиция разных фононов. А если взять, например, суперпозицию колебания типа «всестороннее расширение-сжатие» и дипольного колебания, то она уже приведет к колебаниям центра масс с суммарной и разностной частотами. Сами же фононы за счет ангармонизма будут распадаться на фононы меньших энергий, пока вся система не термализуется.
  • +2
    Вот поэтому бросил я теоретическую работу и ушел в эксперимент. Люди пишут удивительные теоретически статьи и показывают результаты поразительных умозаключений, а потом в эксперименте все оказывается иначе. Проверяешь текст статьи, и где-нибудь в самом начале оказывается мелкое замечание, типа «пусть температура системы 0К» или «тепловых потерь нет» и после этого всю эту теорию можно выкидывать. У нас на кафедре еще любили получать «точное решение» на основе 10 приближений. И очень плевались на эксперимент, когда результаты не сходились.

    Один знакомый профессор — экспериментатор высказал правильную идею: физика — это то, что можно измерить и доказать воспроизводимость. Остальное — философия. Не настаиваю на истину в конечной инстанции, но мое мнение о физике заключается именно в этом.

    П.С. Честно скажу, что задачу решил бы неверно, тем более в школе.
    • +2
      Да, такое сейчас сплошь и рядом — поверхностные теоретические работы, не имеющие с реальным экспериментом ничего общего. Но и точные решения с 10 приближениями тоже иногда оказываются важны, например, точное решение уравнений Эйнштейна для черной дыры или решения Фридмана для расширяющейся Вселенной.
    • –1
      Да физики вообще интересные люди. Делят 1 на 1+x, получают что угодно от 0 до бесконечности, а потом удивляется, что у них квантовая теория с теорией относительности не стыкуется ;)
  • 0
    Какая-то дичь. Сначала пишем в задаче, что не учитываем теплообмен, потом пишем, что из этого следует тепловая машина, и она нарушает законы термодинамики. Да ла-а-а-адно?
    Раз уж взялись анализировать растяжения и сжатия, то надо бы для начала учесть нелинейность этих самых растяжений и сжатий в шарике, а не оперировать простой однородной моделью.
  • 0
    При этом висящий шарик контактирует только с воздухом, а лежащий при этом еще и с поверхностью. Учитывая, что у воздуха теплопроводность хуже, висящий шарик потеряет меньше тепла. Хотя может лежащий на керамике лежит, тогда он меньше тепла потеряет.
    А еще, висящий шарик обладает большей потенциальной энергией, что немного увеличит его массу, что тоже влияет на нагрев.
    ИМХО, разницы не будет никакой. Все эти микропогрешности скомпенсируют друг друга.
    • 0
      Эмм, а каким образом потенциальная энергия увеличит массу шарика?
      • 0
        Масса и энергия эквивалентны же (в ТО).
        • 0
          Не совсем так. Энергия выразима в единицах массы.
          • 0
            Это в обе стороны работает, не?
        • +1
          Потенциальная энергия — это часть общей энергии системы, законы сохранения никуда не делись, ТО про другое.
      • 0
        E = mc^2
        Масса это и есть энергия. Объекты имеют массу, потому что содержат энергию (и лишь крошечная доля всей массы возникает из-за поля Хиггса)
        • +2
          Верно только в состоянии покоя.
    • 0
      А еще, висящий шарик обладает большей потенциальной энергией, что немного увеличит его массу, что тоже влияет на нагрев.

      Вообще-то потенциальная энергия не несет физического смысла сама по себе. Это «математическая абстракция», коих в физике хватает. Функция координат.
  • 0
    Забавно, что и автор, и участники дискуссии рассматривают поведение подвешенного шарика, уверенно исходя из того, что точка крепления находится наверху, а не в центре или внизу.
    • 0
      Если точка крепления где-то ещё, то это уже будет изделие сложной геометрии, а не шарик.
      • 0
        Вы знаете способ закрепить идеальный шарик за верхнюю точку, не нарушив при этом ни его сферичности, ни распределения массы по объему?

        А если и крепление идеально, то ничто не мешает ему оставаться идеальным при креплении в любой точке.
        • 0
          Вопрос в мастшабах несферичности. Одно дело — пайка на участке поверхности и другое — сверление по радиусу.
        • 0

          А вы знаете способ подвесить шарик за нижнюю точку? :-)

          • 0
            Например, просверлить насквозь. :) Для сохранения идентичности второй шарик просверлить тоже. Условию задачи это не противоречит.
            • +1

              И после этого вы жалуетесь на нарушение сферичности при подвешивании за верхнюю точку?..

              • 0
                Вы меня с кем-то путаете, я ни на что не жаловался. А нарушение сферичности отмечено автором публикации. Только при креплении за верхнюю точку шарик вытянется вниз, как показано на рисунке, а при креплении за нижнюю — сплющится так же, как и лежащий.

                Еще раз повторю, что условие задачи этого не оговаривает, поэтому все эти манипуляции абсолютно допустимы.
  • –1
    А может висящий шарик это растянутый сплющенный, а лежащий — сплющенный растянутый итого в этих положениях они идеально совпадают по геометрии до нагревания?
    • +1
      У Вас тоже двумерное пространство?
      • +1
        Нет, я про то, чтобы подвешивать и класть нешарообразные фигуры, которые при растяжении или сжатии соответственно, станут шарообразными.
        • 0
          А мысль хорошая.
          • +1
            Но дело же, вроде, в деформациях, а не форме.
  • 0
    Задача:
    Имеем: Запаянная бочка высотой 1м, наполненная водой, и пузырек воздуха на дне.
    Как изменится давление в бочке если пузырек всплывет.
    • 0
      Примерно никак. Изменение объёма пузырька — за пределами точности приборов. Если конечно, бочка не километр высотой.
      • 0
        Вообще-то в идеальной бочке с одним пузырьком — вдвое увеличится.
        • 0
          А если два пузырька?)
          • 0
            Оба всплыли, или один внизу остался? Если оба — все равно вдвое. Если один, то надо считать, и задачка без табличных данных становится слегка не школьной вроде.
            • 0
              Ваш ответ все равно неверен в общем случае.
              • 0
                Ну поумничали давайте решениями делиться.
                Мой вариант:
                1 фаза Давление на дне равно давлению водяного столба + давление сверху. Бочка герметична, от атмосферного мы прикрыты, давление сверху (на крышку) считаем 0.
                2 фаза Пузырьки всплыли. Объем бочки не изменился, она идеальная. Вода в школьных задачах несжимаемая, значит объем пузырьков прежний. Давление в пузырьках зависит от объема, значит прежнее.
                Давление на дне теперь: давление водяного столба + давление пузырьков (они со дна, значит давление в них = давлению водяного столба) = 2*давление водяного столба.
                • 0
                  Часть 1 не верна. Бочка может быть «наддута» до любого давления, которое может выдержать. Потому, давление Р из условия не обязано быть равно гидростатическому. Таким образом, если считать пункт 2 верным, то давление вырастет на виличину гидростатического (если бочку заливали при атмосферном, то процентов на 10, а не вдвое).

                  Дополнительный вам вопрос: как будет изменяться давление на крышку (вверху бочки) в процессе всплытия? Ну скажем, каким оно будет, пока пузырек находится на середине пути?

                  • 0
                    Ну да, зря я ляпнул про вдвое.
                    На середине первая мысль +половина гидростатического от начального, так как пузырек четко задает на своем уровне полное гидростатическое, а от верха бочки до середины оно должно отличаться на половину гидростатики.
                    Вторая мысль как-то не приходит.
                    • 0
                      А вас не смущает нарушение непрерывности давления? Бесконечное значение градиента на верхней границе пузырька?

                      В общем, я знаю, что озвученно ерешение каноническое, но оно мне не нравится, хоть я и не могу пока хорошо сформулировать свои претензии.
                • 0
                  del
                • 0

                  Забыли про фазовые переходы воды (внизу и наверху в пузырьке воздуха будет разная концентрация водяного пара) и про поверхностное натяжение воды.

  • 0
    Возможно авторы неправильно прочитали условия задачи, в которых ясно сказано, что на столе лежат и на нитке висят одинаковые шары. На картинке опровержения же упор ставится на их «яйцевидность». То есть в условиях задачи этот эффект уже учтён, возможно повесили и положили не идеальные шары, которые уже в конечном положении из-за деформаций приняли форму идеального шара.
  • –2
    Насколько я помню, закон всемирного тяготения применим только к точечным объектам.
  • 0
    Под воздействием гравитации, которая направлена в одну сторону совершенно очевидно, что разные области шарика будут испытывать неодинаковую нагрузку и, соответственно иметь разную плотность. Скорее всего будут области, которые претерпевают сжатие (ближе к центру и книзу) и те, которые по краям, будут деформироваться «на изгиб». Вот как капля воды на несмачиваемом листе приобретает совсем не ту форму, которая изображена на схеме. Кроме того, в задаче не учитывается внутреннее трение от деформации, которое вызовет более серьезный нагрев по сравнению с остальными факторами.
    • 0

      Как раз в данном случае трение не уводит энергию из системы, поэтому его можно не учитывать.

  • 0
    Без сомнительного фрагмента о цикле Карно текст бы выиграл.

    А интуиция как раз говорит наоборот — осторожно, тот сжат, а этот растянут
  • 0
    А если наши шарики надуты водородом, то даже традиционное решение окажется неверным — при увеличении объёма их вес уменьшится, и лежащий может даже взлететь.
    • 0
      Да и не обязательно водородом. А еще можно какой-нибудь аэрогель взять, если шарики требуются «твердые».
  • 0
    В рассуждениях автора есть очевидные неточности.
    Это не олимпиадная задача, а простейший качественный вопрос, сродни тоиу, что в подогреве остановившегося будильника есть свой резон.
    Автор не дал себе труда указать по какому циклу будет работать его тепловая машина, опроверг обе теоремы Карно и даже за Нобелем не пошел.
    Несложная оценка показывает, что изменение теплоемкости, вследствие сжатия или растяжения металлического
    шара сантиметрового диаметра существенно меньше.
    Я пользовался формулой
    √ модуль Юнга/плотность
    для оценки скорости движения фононов.
    С уважением.
    • 0

      Автор опроверг не теоремы Карно, а первое решение задачи.

      • +1
        Так по какому циклу будет работать машина с КПД стремящимся к 100%?
        • 0

          Он же описан в статье. Зачем мне его пересказывать?

          • 0
            Его (термодинамического цикла) там нет — только общее описание фаз процесса, что не то же самое.
            • 0

              И чего же там не хватает?

              • 0
                Всего. Рассчетов КПД, например. Просто постулируется, что он стремится к 100% с ростом размера шара. Кстати, почему? Ведь должна мощность расти (больше работы за цикл), а не КПД.
                • 0

                  С увеличением радиуса шара работа за пол-цикла растет как радиус в 4й степени, а разница внутренней энергии между нагретым и холодным состояниями — как радиус в 3й степени.


                  Тепло, забираемое из нагревателя, равно сумме этих величин, холодильнику же отдается разность. Да, это означает что начиная с какого-то предельного радиуса шар будет забирать тепло не только от наглевателя — но и от холодильника, то есть КПД растет не до 100%, а вовсе неограниченно, тут автор ошибся. :-)

                  • 0
                    Работа еще от температуры зависит. А она кубически падает с ростом радиуса.

                    будет забирать тепло не только от наглевателя — но и от холодильника
                    Интересно, как вы это себе представляете. Может, и диаграмму такого процесса нарисуете?)
                    • 0

                      С хрена ли при замене шара на шар большего радиуса температура будет падать-то?


                      Интересно, как вы это себе представляете.

                      Никак. Это ошибка модели.

                  • –1
                    Почему не пропорцилнально 9й?
                    • 0

                      Потому что масса пропорциональна объему, теплоемкость — массе, а работа — произведению массы на перемещение.

                      • –1
                        Спасибо за ответ, я хотел привлечь внимание к произвольным предположениям автора, которые странным образом всех устраивают.
                        Из них и возникает ситуация, когда с ростом, размера шара большая часть энергии пойдет в работу.
                        В физике полезно четко определить начальные предположения и ограничения. Если этого не сделать можно получить неверные результаты.
                        • 0

                          Попробуйте внимательнее прочитать пост.

                    • –1
                      Извините, не тому ответил. Интересно, как легко общество проглотило неявное предположение автора об абсолютно твердом теле с тепловым расширением.
                • +1
                  Все расчеты есть же в статье, на которую дана ссылка. КПД дается формулой (5), видно, что если R растет, то КПД стремится к 100%.

                  Про цикл — вопрос интересный. В переменных (g,T) это будет прямоугольник, но для замыкания цикла нужно как-то модифицировать модель, введя внешнюю систему, над которой шарик будет совершать работу.
                  • –1
                    О том и речь — как можно посчитать КПД незамкнутого цикла? Ну ок, посчитать можно, но сравнивать с КПД замкнутых циклов (карно) уж точно нельзя.
                    • 0
                      У рабочего тела (шарика) внутреннее состояние вполне себе замыкается в цикл, нужно просто подумать над таким механизмом передачи работы от шарика к внешней системе, чтобы в каждый момент времени все находилось в состоянии термодинамического равновесия.
                      • 0
                        Передачу работы? (энергии, вы имели ввиду?)
                        Система в состоянии равновесия не может совершать работу.

                        p.s. у меня почему-то не грузится препринт, могу я вас попросить каким-либо образом скопировать часть про КПД из статьи?
                        • 0
                          Ну так в любом термодинамическом цикле система в каждый момент времени находится в равновесии с окружением, только это состояние равновесия бесконечно медленно изменяется (квазистатический процесс). Так потихоньку работа и совершается. Здесь нужно придумать что-то похожее, чтобы поднятый в конце шарик не упал вниз, после того, как мы отцепим его от подвеса, а медленно опустился, совершив при этом работу.

                          Формулу для КПД прилагаю, там C_0 — теплоемкость шарика, M — его масса, R — радиус.

                          Можете по этой ссылке попробовать скачать:
                          https://arxiv.org/abs/1502.01337
                          • 0
                            Ага, скачать препринт все-таки удалось, почитаю на досуге.

                            Пока другой вопрос. Я, может, туплю, но чем этот пример отличается от стержня с зубчатым колесом (известный, вроде, пример)? Ну кроме того, что двойка уйдет из числителя, что качественно не изменит картину.
                            • 0
                              Подумал над стержнем с зубчатым колесом: мне кажется, задача принципиально не отличается. Формула для КПД при «наивном» рассмотрении будет такой же, если заменить MgR на FL — произведение силы, сопротивляющейся расширению стержня, на длину этого стержня.

                              Здесь тоже можно устремить КПД к единице, делая стержень тонким. И тот же фактор упускается при «наивном» рассмотрении: под нагрузкой у стержня теплоемкость будет меняться.
                              • 0
                                Ошибок не вижу, но все равно кажется, что где-то в чем-то тут подвох…

                                Возможно, я снова туплю, но возникла мысль, справедлива ли теорема Карно для не газов. Отсюда возникает вопрос, что будет, если заменить шарики в задаче на шарики с газом? А на цилиндры с поршнями?
                                • 0
                                  Теорема Карно должна быть справедлива для любых циклов и любых рабочих тел, если T_1 понимать как максимальную достигаемую во всем цикле температуру, а T_2 как минимальную.

                                  Насчет цикла я подумал и, кажется, все понял: если заменить шарик сосудом с газом, то g будет аналогом давления, а высота центра масс шарика Y будет аналогом объема. Поэтому правильный цикл будет похож на цикл Брайтона:
                                  1) Нагреваем шарик при g = const (аналог изобары), при этом его центр масс поднимается (аналог увеличения объема газа).
                                  2) Меняем величину g (перевешиваем шарик), это будет адиабатический процесс.
                                  3) Отводим от шарика тепло при g = const (но уже меньшей по величине), это будет вторая «изобара».
                                  4) Возвращаем g к прежнему значению (отцепляем шарик от нитки и кладем на стол), это вторая адиабата.

                                  КПД такого цикла, как и следует, не превышает КПД цикла Карно. А вот если мы будем следовать логике неправильного решения, то нам нужно «срезать» адиабаты, заменив стадии 2 и 4 изохорами: мы предполагаем, что, пока мы меняем g (перевешиваем шарик), он у нас не деформируется, т.е. величина Y (аналог объема) постоянна. Если посчитать КПД такого процесса, то он сможет и превышать КПД цикла Карно.

                                  Ошибка здесь в том, что:
                                  А) Либо мы должны считать процесс перевешивания адиабатическим, и тогда две адиабаты дадут свой вклад в работу.
                                  Б) Либо мы считаем процесс перевешивания изохорным, но тогда нужно учитывать при этом процессы передачи тепла.
                                  При неправильном решении учитываемая в расчете КПД передача тепла берется из варианта Б, а совершаемая системой работа берется из варианта А, эта непоследовательность приводит к нарушению теоремы Карно.
                                  • 0
                                    Ага, спасибо, очень хороший ответ. Простите, что заставляю вас обдумывать/обсчитывать свои мысли — че-то не хочет голова в этом направлении работать.

                                    Тем не менее, новый вопрос. Допустим, у нас есть несжимаемый материал, плотность которого зависит только от температуры. Тогда изохоры станут верным вариантом. Означает ли это, что теорема Карно запрещает существование таких материалов? Или оба этих факта следуют из более глубоких идей? Или тут где-то еще ошибка?
                                    • 0
                                      Да вроде теорема Карно работает при любой сжимаемости материала. Можно считать, что несжимаемый материал — это материал с показателем адиабаты, стремящимся к бесконечности, тогда КПД цикла Брайтона будет 1 — p2/p1, где p1 и p2 — давления на верхней и нижней изобарах. А КПД Карно при этих же условиях будет 1 — T2/T1 = 1 — (p2/p1)(V2/V1), где V1 и V2 — объемы на правой и левой изохорах. Так как V2 < V1, КПД Карно будет больше.

                                      При «неправильном» расчете, кстати, КПД тоже будет равен 1 — p2/p1, как и при правильном (в пределе несжимаемого вещества), так что в этом пределе действительно пропадает разница между двумя расчетами.
                                      • 0
                                        Значит, не такое уж оно и неправильное?)
                                        • 0
                                          По-моему, оно становится правильным, если материал мы считаем несжимаемым, и при этом, действительно, КПД можно устремить к единице. Но только КПД цикла Карно тоже будет стремиться к единице, причем быстрее.

                                          Или так можно объяснить: пусть мы хотим устремить КПД цикла Брайтона слабо сжимаемого вещества (p1 — p2)/p1 к единице, оставляя при этом КПД Карно (T1 — T2)/T1 постоянным, чтобы нарушить теорему Карно. В этом случае нам нужно делать p1 — p2 как можно больше, т.е. вытягивать цикл вертикально, по оси p. А разницу температур T1 — T2 нужно оставлять постоянной, а это значит, нужно оставлять постоянной разницу V1 — V2 (в несжимаемом веществе T зависит только от V). Но при таком вытянутом цикле большую роль будет играть отклонение адиабаты от вертикальной изохоры, т.е. даже слабая сжимаемость вещества, приводящая к этому отклонению, будет давать заметный эффект, и ей нельзя пренебрегать при расчете КПД.
                                          • 0
                                            Т.к. в исходном решении пренебрегают гравитационным сжатием в принципе, а не только асимметрией межатомных сил, полагаю, что это эквивалентно ситуации, как если бы шар был несжимаемым по условии (что обычно является неявно подразумевающимся в школьных задачах). Но этого:
                                            Но только КПД цикла Карно тоже будет стремиться к единице, причем быстрее.
                                            уже должно быть достаточно, чтобы считать опровержение из статьи не корректным.

                                            Кстати, довольно занятный вывод. Довольно неожиданный, я бы даже сказал… Интересно, существуют ли такие материалы, и реально ли это как-то использовать для генерации в реальном мире.
                                            • 0
                                              Вообще, надо подумать над теоремой Карно в случае несжимаемого тела, потому что здесь правда есть проблема. Она заключается в том, что КПД цикла Брайтона в этом случае становится равен 1-p2/p1, а КПД цикла Карно 1-T(V2)/T(V1) (уравнение состояния несжимаемого вещества можно записать как T = T(V), поскольку давление объем зависит только от температуры, но не от давления).

                                              Здесь ничто не мешает сделать КПД цикла выше предела Карно. С другой стороны, сам цикл Карно в этом случае вырождается в линию, потому что для несжимаемого вещества изотерма, адиабата и изохора совпадают. Поэтому КПД цикла Карно — это, фактически, 0/0 — нулевая работа, поделенная на нулевой приток теплоты, и формула 1-T(V2)/T(V1) может не иметь особого смысла.
                                              • 0

                                                Вообще-то доказательство теоремы Карно не требует чтобы обе сравниваемые машины имели одинаковое рабочее тело.

  • 0
    Спасибо, очень интересно! Если позволите, в одном месте у Вас неточность. Вы пишете:

    здесь вместо малой величины [α] фигурируют еще более малые величины α^2 и ∂α/∂T.

    α — это не малая величина, она размерная. А малыми бывают только безразмерные. На самом деле суть дела в том, что α из первого решения заменяется на T*(α^2+∂α/∂T). Так что Вы, видимо, хотели сказать, что малой величиной является безразмерное отношение этих двух множителей: T*(α^2+∂α/∂T)/α. А это сходу неочевидно, так как этот факт зависит от численных значений α и ∂α/∂T (ну и самой T, но порядок T известен).
    • 0
      Да, лучше, конечно, сравнивать величины одинаковых размерностей. Это жаргон теоретиков — при неправильном решении эффект первого порядка малости по ангармонизму, при правильном — уже второго порядка.

      T*α — это процентное изменение размера тела при нагреве от абсолютного нуля до комнатной температуры (для стали, например, это порядка 0.004), а величина T*(∂α/∂T)/α уже, вроде бы, побольше (порядка 0.15), если судить по этим графикам:
      https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b2/Coefficient_dilatation_lineique_aciers.svg
  • –2
    Два сферических коня в вакууме. Оба решения нельзя считать верными поскольку они теоретические.
    Пока нет практического результата то и говорить о правильности решения глупо.
    Помните: практика-критерий истины.
    • 0
      Любое решение является теоретическим.
      По вашей логике, школьные задачи не могут быть проверены учителем, т.к. не имеют практического приложения.
      • 0
        Сказали глупость и мне же поставили минус. Вы не в курсе что некоторые задачи и решения можно проверить на практике и подтвердить опытом? Правда??

        P.S.
        На хабре-гиктаймс засилье школьников-теоретиков-минусаторов. Поэтому ресурс и теряет популярность.
        • 0
          Вы не в курсе, что такое косвенное подтверждение? Вы, видимо, даже школу не осилили.
          • –1
            Я закончил лучший технический ВУЗ в своём городе, самый сложный его факультет.
            Ваши дурацкие предположения о моём образовании можете оставить при себе.
            И оставьте эту детскую манеру переходить на личности в споре.
            Из-за таких как Вы у нас вся страна в разрухе. Про хабр и говорить нечего.
            • 0
              Зря Вы так, честное слово. Карму восстановить значительно труднее, чем испортить (минусы в неё — не мои).
              Переходом на личности я ответил на ваш выпад в адрес сообщества. Что же касается Хабра — ИМХО, от в том состоянии, в котором должен. Это довольно специальный ресурс, естественно, что его аудитория не безмерна и посещаемость относительно невелика. Погоня за посещаемостью экономически выгодна владельцам Хабра, но не выгодна с т.з. его содержания.

              Давайте теперь вернёмся к нашим баранам. Видимо я Вас недопонял.
              Верно ли, что по Вашему мнению все школьные задачи должны быть подобны реальным задачам из быта, или техническим расчётам?
              Считаете ли Вы, что если задача не подобна реальной, то её правильность невозможно проверить?
              • –1
                Я настолько ценю истину и возможность высказать своё собственное мнение что готов пожертвовать не только кармой. На этом полемику считаю законченной.
  • 0
    как ни странно но именно тепловые потери тут будут самым влияющим фактором, деревянный стол обладает явно большей теплопроводностью чем верёвочка на которой подвешен шарик.

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.